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PROBLÈME

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d^{3}E} ^{n}\nu }{\operatorname {d} a^{3}}}-{\frac {\operatorname {d^{3}E} ^{-n}\nu }{\operatorname {d} a^{3}}}&=\ldots 2.3.4.2n\beta +\ldots \\\\{\frac {\operatorname {d^{4}E} ^{n}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}}+{\frac {\operatorname {d^{4}E} ^{-n}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}}&=\ldots 1.2.3.4.2\beta +\ldots \end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . .

La première de ces formules fournit les $n+1$ équations (32) : chacune des suivantes en fournit autant. En multipliant le premier système par $A,B,C,\ldots$ le second par $A',B',C',\ldots$ le troisième par $A'',B'',C'',\ldots$ et ainsi de suite ; puis en les ajoutant toutes, et nommant $V$ somme de leurs premiers membres, on posera $W=V,$ et on aura, en allant jusqu’au contact de l’ordre $m,$ un nombre $(m+1)(n+1)$ d’équations, entre autant de coefficiens qui, étant une fois déterminés, donneront enfin

$W=\left\{{\begin{aligned}&A\left(\operatorname {E} ^{n}\nu +\operatorname {E} ^{-n}\nu \right)+B\left(\operatorname {E} ^{n-1}\nu +\operatorname {E} ^{-(n-1)}\nu \right)+\ldots +N\nu \\+&A'\left({\tfrac {\operatorname {dE} ^{n}\nu -\operatorname {dE} ^{-n}\nu }{\operatorname {d} a}}\right)+B'\left({\tfrac {\operatorname {dE} ^{n-1}\nu -\operatorname {dE} ^{-(n-1)}\nu }{\operatorname {d} a}}\right)+\ldots +N'{\tfrac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} a}}\\+&A''\left({\tfrac {\operatorname {d^{2}E} ^{n}\nu +\operatorname {d^{2}E} ^{-n}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}\right)+B''\left({\tfrac {\operatorname {d^{2}E} ^{n-1}\nu +\operatorname {d^{2}E} ^{-(n-1)}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}\right)+\ldots +N''{\tfrac {\operatorname {d^{2}} \nu }{\operatorname {d} a^{2}}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}$

c’est-à-dire que, dans l’expression finale de l’aire $W$ les ordonnées également éloignées des extrêmes, ainsi que leurs coefficiens différentiels successifs, sont rapprochés sous un même coefficient numérique ; mais séparés par le signe $+$, pour les différentielles $\operatorname {d} ^{0},\operatorname {d} ^{2},\operatorname {d} ^{4},\ldots$ de rangs pairs, et par le signe $-,$ pour les différentielles $\operatorname {d} ^{1},\operatorname {d} ^{3},\operatorname {d} ^{5},\ldots$ de rangs impairs.