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QUESTIONS

II. Cette courbe est, comme on le voit, du quatrième degré, et il est aisé de s’assurer, par un simple déplacement de l’origine sur l’axe des $x$, qu’elle est concentrique avec la proposée ; mais c’est à quoi nous ne nous arrêterons pas, non plus qu’à discuter

$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2},$

et si, de plus, on désigne par $\alpha$ l’angle constant donné ; l’équation de la courbe demandée sera

$4\left(b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}b^{2}\right)=\left(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2}\right)^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha .$

Pour passer de là à l’hyperbole, dont l’équation serait

$b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2},$

il suffira de changer $b^{2}$ en $-b^{2},$ dans l’équation ci-dessus, ce qui donnera

$4\left(b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}-a^{2}b^{2}\right)+\left(x^{2}+y^{2}-a^{2}+b^{2}\right)^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha =0.$

Enfin, pour la parabole dont l’équation serait

$y^{2}=2px,$

il suffira, dans l’équation (4) du texte de faire $A=0,\ B=-2p$, ce qui donnera

$4\left(y^{2}-2px\right)=(2x+p)^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha .$

Puisque $\operatorname {Tang} .\alpha$ n’entre qu’au quarré dans ces équations, il en résulte qu’elles conviennent également au cas où l’angle $\alpha$ serait égal à un angle donné et à celui où il en serait le supplément ; et comme, excepté le cas ou cet angle donné serait droit, les courbes décrites par les sommets des deux angles mobiles doivent évidemment être essentiellement distinctes ; il s’ensuit que notre équation du quatrième degré appartient à deux courbes. Il est de plus évident que, pour l’ellipse, par exemple, les deux courbes doivent être concentriques avec la proposée, qu’elles doivent être des courbes fermées, sans aucune sorte d’inflexion ; d’où l’on pourrait être tenté d’inférer que ce sont deux ellipses,