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RÉSOLUES.

son cours et ses propriétés. Nous nous bornerons à parcourir, d’une manière succincte, les cas particuliers, déjà connus, où son équation s’abaisse au second degré, et représente, par conséquent, une section conique^[1].

données par une même équation. Mais, outre qu’il faudrait pour cela que l’équation fût résoluble en deux facteurs rationnels du second degré, il est très-aisé de prouver directement qu’il n’en est point ainsi.

Si, en effet, dans l’équation qui répond à l’ellipse, on fait successivement $y$ et $x$ égaux à zéro, il viendra

$x^{4}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha -2\left\{2b^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right)\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right\}x^{2}+\left\{4a^{2}b^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right\}=0,$
$y^{4}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha -2\left\{2a^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right)\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right\}y^{2}+\left\{4a^{2}b^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right\}=0,$

d’où l’on tirera ces quatre valeurs de $x$ et de $y$

${\begin{alignedat}{2}x&={\frac {\sqrt {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha +b^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}{\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\alpha }},&x&={\frac {\sqrt {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha +b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}{\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\,;\\\\y&={\frac {\sqrt {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha +b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}{\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\alpha }},&\quad y&={\frac {\sqrt {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha +b^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}{\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\alpha }}.\end{alignedat}}$

Tels sont donc les deux demi-axes des deux courbes. Si donc ces courbes étaient des ellipses, leurs équations seraient

${\frac {x^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha +b^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}+{\frac {y^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha +a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}=1,$


${\frac {x^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha +b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}+{\frac {y^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{b^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha +a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}=1.$

Or, il est aisé de se convaincre que le produit de ces deux équations n’équivaut pas à la proposée.

J. D. G.
1. Voyez un Mémoire de Lahire, dans le volume de l’Académie royale des sciences de Paris, pour 1704.
   (Note de l’auteur).