et l’autre du degré donc ces courbes se couperont, en général ; en points. Or, chacun de des points, en tant qu’il appartient à l’une des réciproques, est le pôle (V) d’une certaine tangente à celle des courbes données qui lui correspond, et en tant qu’il appartient à l’autre de ces mêmes réciproques, il est aussi le pôle d’une certaine tangente à la seconde des courbes données ; donc, un même pôle ne pouvant avoir qu’une seule et unique droite polaire, ce point d’intersection des deux réciproques sera précisément le pôle d’une tangente commune aux deux courbes proposées. De plus, il est visible qu’à son tour toute tangente commune à ces courbes est nécessairement la polaire d’un certain point commun aux deux réciproques ; d’où il suit que le nombre de ces tangentes communes sera précisément égal à celui des points d’intersection des deux réciproques, c’est-à-dire, comme on s’était proposé de le démontrer.
Quant aux courbes polaires elles-mêmes, bien qu’elles soient d’un degré plus élevé que leurs correspondantes, elles ne sauraient évidemment avoir plus de tangentes communes, puisque leurs réciproques primitives, étant respectivement des degrés et ne sauraient se couper en plus de points.
Nous pourrions transporter les généralités qui précèdent dans l’espace, mais il sera plus convenable de descendre de ces mêmes généralités au cas particulier où la courbe donnée est une section conique, comme la directrice ; parce qu’il se rattache (II) au problème qui fait l’objet principal de cet article. Nous terminerons par rechercher, d’une manière générale, l’équation de la polaire réciproque, pour ce cas particulier, tant parce que cet objet n’a point encore été rempli d’une manière purement algébrique, que pour faire connaître la cause de la complication des équations du problème général qui nous a occupés dans l’article III.
XII. Nous avons vu ci-dessus (VI) que le degré de la polaire réciproque d’une courbe donnée est, en général, égal au nombre des tangentes que l’on peut mener d’un point quelconque à cette
