dernière ; or, dans le cas actuel d’une section conique, le nombre de ces tangentes est visiblement deux ; et il n’est pas besoin, pour cela, de recourir à l’article VII ; donc la polaire réciproque d’une section conique donnée est elle-même une autre section conique ; ce qu’on peut aussi (V) énoncer de cette autre manière :
Si le pôle d’une section conique se meut, sans cesser d’appartenir à une autre section conique, sa polaire ne cessera pas non plus de toucher une troisième section conique, différente des deux premières.
Et réciproquement,
Si la polaire d’une section conique se meut, sans cesser d’être tangente à une autre section conique, son pôle ne quittera pas non plus une troisième section conique, différente des deux premières.
Ces deux théorèmes rentrent, pour le fond, comme nous l’avons assez fait voir, dans une proposition unique, qui ne diffère pas de celle citée à la page 13 de ce volume. Le raisonnement qui précède en fournit une démonstration nouvelle, purement géométrique, et qui me paraît aussi directe que simple ; elle s’étendrait avec facilité au cas où les sections coniques seraient remplacées par des surfaces du second ordre, situées arbitrairement dans l’espace, ce qui donnerait lieu au beau théorème démontré pour la première fois par M. Brianchon, à la page 308 du XIII.e cahier du Journal de l’école polytechnique.
XIII. D’après ce qui a été dit ci-dessus (X), la polaire réciproque d’une section conique donnée sera ouverte ou fermée, selon que du centre de la section conique directrice on pourra ou on ne pourra pas mener des tangentes à la section conique donnée. Il suit de là que cette polaire sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que le centre de la directrice sera situé au dedans, dessus ou au dehors de la section conique donnée. En remarquant, en outre, d’après le même article, que les points de contact dont il vient d’être question sont précisément les pôle des asimptotes de la
