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DES TANGENTES.
étant quelconque ; ces équations représenteront les coordonnées
des différens points de la normale, ce qui donne lieu à la construction suivante :
Au point
on mènera des parallèles respectives aux axes
rectangulaires ; et on portera sur ces parallèles, à partir de ce
point, des parties proportionnelles à
et
achevant enfin le
rectangle de ces parties, la diagonale qui dans ce rectangle joindra
le sommet
au sommet opposé sera la normale à la courbe.
Soit présentement un point fixe quelconque
soit
la
distance variable de ce point au point
la courbe pourra être exprimée par une équation de relation entre
et
équation que
nous supposerons être
![{\displaystyle \phi (p,x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10ae2cf0b29b2ea2f08395e0b9e98bef115e347)
On aura donc
![{\displaystyle p={\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce8d752e6d1493633239269a7c93205656372be)
de sorte que l’équation de la courbe, en coordonnées rectangulaires sera
![{\displaystyle \phi \left[{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}},x\right]=\operatorname {F} (x,y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a5b85c36d3b5411ac893df7a139832bd5e08a1)
on aura donc, pour les équations de la normale,
![{\displaystyle X=x+\mu {\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} x}},\qquad Y=y+\mu {\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f6a8e2b48f7d350f738cdf4300a93a61dc7e6c)
Mais, en remplaçant simplement, pour abréger,
par
on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} (\phi )}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} p}}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} x}},\\&{\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\phi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} p}}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y}}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7da02c6f687cf493ba2384dd205c6598f373925)
et, comme on a d’ailleurs