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DES TANGENTES.

soient $p,p'$ les distances respectives de ces deux points à un point de la courbe ; cette courbe pourra être exprimée par une équation de relation entre $p$ et $p',$ équation que nous supposerons être

$\psi =(p,p')=0.$

On aura de plus

$p={\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}},\qquad p'={\sqrt {(x-\alpha ')^{2}+(y-\beta ')^{2}}}\,;$

de sorte que l’équation en coordonnées rectangulaires sera

$\psi \left[{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}},\ {\sqrt {(x-\alpha ')^{2}+(y-\beta ')^{2}}}\right]=\operatorname {F} (x,y)=0.$

Mais, en remplaçant simplement, pour abréger, $\psi (p,p')$ par $\psi ,$ on trouve

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} (\psi )}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p}}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p'}}{\frac {\operatorname {d} p'}{\operatorname {d} x}},\\&{\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\psi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p}}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p'}}{\frac {\operatorname {d} p'}{\operatorname {d} y}}.\\\end{aligned}}$

On a d’ailleurs, en désignant par $a,b,a',b'$ les cosinus des angles que font les direction $p,p'$ avee les axes des $x$ et des $y,$

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}&=a,\qquad &{\frac {\operatorname {d} p'}{\operatorname {d} x}}&=a',\\{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y}}&=b,&{\frac {\operatorname {d} p'}{\operatorname {d} y}}&=b'\,;\end{alignedat}}$

on aura donc

${\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} x}}=a{\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p}}+a'{\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p'}},\qquad {\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} y}}=b{\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p}}+b'{\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p'}}\,;$

au moyen de quoi les équations de la normale seront