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MÉTHODE DES TANGENTES.

${\begin{aligned}&X=x+\mu a{\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p}}+\mu a'{\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p'}},\\&Y=y+\mu b{\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p}}+\mu b'{\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p'}}\,;\end{aligned}}$

d’où on déduira la construction suivante :

Soient portées sur $p$ et $p',$ à partir du point $(x,y),$ des longueurs respectivement proportionnelles à ${\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p}}$ et ${\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} p'}}\,;$ en construisant un parallélogramme sur ces longueurs, la diagonale qui joindra le sommet $(x,y)$ de ce parallélogramme au sommet opposé sera normale à la courbe.

En appliquant ces constructions aux sections coniques, il en résulte diverses méthodes pour mener des tangentes à ces courbes.

On sait d’abord qu’en rapportant une section conique à l’un de ses foyers et une parallèle à sa directrice, son équation prend la forme

$Ap+Bx+C=0\,;$

ce qui donne ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} p}}=A,\ {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} x}}=B\,;$ d’où l’on voit qu’en prenant respectivement sur $p$ et $x$ des parties proportionnelles aux grandeurs constantes $A$ et $B,$ et achevant le parallélogramme, sa diagonale sera la normale à la courbe.

Comme, en particulier, on a pour la parabole $B=-A,$ il s’ensuit que, pour cette courbe, la normale divise en deux parties égales l’angle des coordonnées $x$ et $p.$

En second lieu, on sait qu’en rapportant l’ellipse et l’hyperbole à leurs foyers, on a pour leur équation

$p\pm p'=2A\,;$