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QUESTIONS

$Z'=0,\qquad {\text{(II)}}\qquad Z''=0\,;\qquad {\text{(III)}}$

et par suite

$X'\operatorname {d} x'+Y'\operatorname {d} y'=0,\qquad X''\operatorname {d} x''+Y''\operatorname {d} y''=0,\qquad$(5)

Présentement, l’équation de la corde $2c,$ considérée comme droite indéfinie, passant par les deux points $(x',y'),(x'',y''),$ est

$(y'-y'')x-(x'-x'')y+(x'y''-y'x'')=0,\qquad$(IV)

dans laquelle les quatre paramètres $x',y',x'',y''$ n’équivalent proprement qu’à un seul, puisqu’ils se trouvent liés par les trois relations (I, II, III). La différentielle de cette dernière équation est d’ailleurs, en considérant à la fois $x',y',x'',y''$ comme variables, et $x,y$ comme constans,

$(x-x'')\operatorname {d} y'-(x-x')\operatorname {d} y''=(y-y'')\operatorname {d} x'-(y-y')\operatorname {d} x''.\qquad$(6)

Suivant donc la théorie des enveloppes (exposée à la page 361 du III.^me volume de ce recueil), l’équation de la courbe demandée sera le résultat de l’élimination de $x',x'',y',y'',\operatorname {d} x',\operatorname {d} x'',$ $\operatorname {d} y',\operatorname {d} y'',$ entre les quatre équations (I, II, III, IV) et leurs différentielles ; c’est-à-dire, entre les huit équations (I, II, III, IV, 4, 5, 6). À la vérité, elles ne sont qu’en nombre égal à celui des quantités à éliminer ; mais on doit remarquer que les quantités $\operatorname {d} x',\operatorname {d} y',\operatorname {d} x'',\operatorname {d} y'',$ qui n’entrent qu’au premier degré dans les équations qui les renferment, se trouvent en affecter tous les termes ; de sorte que l’élimination de trois quelconques d’entre elles entraîne d’elle-même celle de la quatrième ; on obtiendra donc ainsi une équation finale en $x',y',x'',y'',$ qui, jointe aux quatre équations (I, II, III, IV), suffira pour éliminer ces quatre coordonnées ; et leur élimination conduira à une équation en $x,y$ qui sera l’équation demandée.