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RÉSOLUES.
Rejetant donc ce premier facteur, l’équation (V) deviendra
![{\displaystyle (x'-x'')x+(y'-y'')y=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52aff25edd3cea5cbd0b4cc47cdb97a8b9d830ef)
(V)
cette équation, combinée avec l’équation (IV), donnera
![{\displaystyle y'={\frac {x^{2}+y^{2}-xx'}{y}},\qquad y''={\frac {x^{2}+y^{2}-xx''}{y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cdb2d82f570ee291d1663ac0154c044c339c33c)
substituant ces valeurs dans les trois premières équations, elles deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{2}+y^{2}\right)(x'-x'')^{2}=&4c^{2}y^{2},\\\left(x^{2}+y^{2}\right)(x\ -x'\,)^{2}=&y^{2}\left(r^{2}-x^{2}-y^{2}\right),\\\left(x^{2}+y^{2}\right)(x\,-x'')^{2}=&y^{2}\left(r^{2}-x^{2}-y^{2}\right)\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449d6294018217808582acc9629e7e6e5033f8b2)
des deux dernières on tire
![{\displaystyle x'=x\pm y{\sqrt {\frac {r^{2}-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}},\qquad x''=x\mp y{\sqrt {\frac {r^{2}-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd2658ac7384f2561bfb255a2ca8fc527643444c)
c’est-à-dire que
sont racines d’une même équation du second
degré. On a, d’après cela,
![{\displaystyle x'-x''=\pm 2y{\sqrt {\frac {r^{2}-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c0905c4b26bd45e991fe98ae95d08a14a2be0f)
et en quarrant
![{\displaystyle (x'-x'')^{2}=4y^{2}.{\frac {r^{2}-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3478de71596b946d53c45de031a4bb58fc3ac142)
mettant cette valeur dans la première équation, elle deviendra
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}-c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1128068b7d8613093df18a6e34dbb34a9ccb859f)
qui est, en effet, la véritable solution du problème.