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QUESTIONS

Pour deuxième exemple, prenons l’hyperbole équilatère ayant pour équation

$2xy-a^{2}=Z=0\,;$

qui donne

$X=\left({\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} x}}\right)=2y,\qquad Y=\left({\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} y}}\right)=2x.$

Les équations du problème seront

${\begin{array}{cr}(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}=4c^{2},&{\text{(I)}}\\\\2x'y'=a^{2},\qquad {\text{(II)}}\qquad 2x''y''=a^{2}&{\text{(III)}}\\\\(y'-y'')x-(x'-x'')y+(x'y''-y'x'')=0,&{\text{(IV)}}\\\\\end{array}}$

$(x'y''-x''y')\left[(x'-x'')x+(y'-y'')y\right]=(x'y''+x''y')\left[(x'-x'')^{2}-(y'-y'')^{2}\right].$(V)

Si, au moyen des équations (II, III), on chasse $y',y''$ des trois autres, elles deviendront,

${\begin{array}{cr}(x'-x'')^{2}\left(4x'^{2}x''^{2}+a^{4}\right)=16c^{2}x'^{2}x''^{2},&{\text{(VI)}}\\\\2yx'x''+a^{2}x=a^{2}(x'+x''),&{\text{(VII)}}\\\\2x'x''(x'+x'')(2xx'x''-a^{2}y)=(x'^{2}+x''^{2})(4x'^{2}x''-a^{4}).&{\text{(VIII)}}\\\\\end{array}}$

Posant alors

$x'+x''=t,\qquad x'y'=u,$

d’où

$x'^{2}+x''^{2}=t^{2}-2u,\qquad (x'-x'')^{2}=t^{2}-4u,$

il viendra, en substituant

$(t^{2}-4u)(4u^{2}+a^{4})=16c^{2}u^{2},$