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RÉSOLUES.

$2yu+a^{2}x=a^{2}t,$

$2tu(2xu-ay)=\left(t^{2}-2u\right)\left(4u^{2}-a^{4}\right)\,;$

et la question sera réduite à éliminer $t$ et $u$ entre ces trois équations.

Tirant donc de la seconde valeur de $t,$ pour la substituer dans les deux autres, elles deviendront

$16y^{2}u^{4}+16a^{2}\left(xy-a^{2}\right)u^{3}+4a^{4}\left(x^{2}+y^{2}-4c^{2}\right)u+4a^{6}\left(xy-a^{2}\right)u+a^{8}x^{2}=0,$

$16y^{2}u^{4}+8a^{2}\left(xy-a^{2}\right)u^{3}-2a^{6}\left(xy-a^{2}\right)u-a^{8}x^{2}=0\,;$

mettant, pour abréger, $2u$ pour $a^{2}v,$ elles se changeront en celles-ci

$y^{2}v^{4}+2\left(xy-a^{2}\right)v^{3}+\left(x^{2}+y^{2}-4c^{2}\right)v^{2}+2\left(xy-a^{2}\right)v+x^{2}=0\,;$

$y^{2}v^{4}+\left(xy-a^{2}\right)v^{3}-\left(xy-a^{2}\right)v-x^{2}=0.$

Faisant encore, pour abréger,

${\begin{aligned}x^{2}=g,&\qquad x^{2}+y^{2}-4c^{2}=k,\\y^{2}=h,&\qquad xy-a^{2}=f\,;\end{aligned}}$

elles deviendront

${\begin{aligned}&hv^{4}+2fv^{3}+kv^{2}+2fv+g=0,\\&hv^{4}+\ \,fv^{3}\qquad \ \ \ -\ \ fv-g=0\,;\end{aligned}}$

éliminant, au moyen des multiplications successives, méthode préférable à toutes les autres, comme la plus simple et la plus symétrique, il viendra

$f^{2}\left\{(6g-k)\left(4gh-f^{2}\right)-(6h-k)\left(2gk-3f^{2}\right)\right\}$

$\left\{(6h-k)\left(4gh-f^{2}\right)-(6g-k)\left(2hk-3f^{2}\right)\right\}$

$=\left\{\left(4gh-f^{2}\right)^{2}-\left(2gk-3f^{2}\right)\left(2hk-3f^{2}\right)\right\}^{2}$