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QUESTIONS

en remettant pour $f,g,h,k,$ les fonctions de $x$ et $y$ que ces lettres représentent, on obtiendrait l’équation de la courbe cherchée ; mais on voit que, sauf les réductions, cette équation serait du 16.^me degré. Il est sans doute fort probable que cette équation se trouverait compliquée de facteurs étrangers ; mais on conçoit que ces facteurs ne seraient point aisés à découvrir.

En conséquence, nous nous bornerons au seul cas où l’hyperbole équilatère dégénère en deux droites perpendiculaires l’une à l’autre ; on a dans ce cas $a=0\,;$ et les deux équations du 4.^me degré en $v$ prennent cette forme

$\left(1+v^{2}\right)(yv+x)^{2}=4c^{2}v^{2},$

$\left(yv^{3}-x\right)(yv+x)=0.$

Si, dans la dernière, on posait $yv+x=0,$ la première donnerait $v=0,$ d’où résulterait $x=0,$ équation de l’axe des $x\,;$ il faut donc poser

$yv^{3}-x=0,\qquad$d’où$\qquad v={\sqrt[{3}]{\frac {x}{y}}},$

valeur qui, substituée dans la première, donne

$\left({\frac {x}{2c}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {y}{2c}}\right)^{\frac {2}{3}}=1.$

On voit, par la complication de cette équation, quelle aurait dû être celle de l’équation qui aurait répondu au cas général.

Pour dernier exemple, nous prendrons la parabole ayant pour équation

$y^{2}-2px=Z=0\,;$

nous aurons ainsi