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RÉSOLUES.

$X=\left({\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} x}}\right)=-2p,\qquad Y=\left({\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} y}}\right)=2y\,;$

en conséquence, les équations du problème seront

${\begin{array}{cr}(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}=4c^{2},&{\text{(I)}}\\y'^{2}=2px',\qquad {\text{(II)}}\qquad y''^{2}=2px''&{\text{(III)}}\\(y'-y'')x-(x'-x'')y+(x'y''-x''y')=0,&{\text{(IV)}}\end{array}}$

$\left(p^{2}a-y'y''\right)(x'-x'')+p(x'-x'')(x'y'-x''y'')=$

$p(y'-y'')\left[(x'-x'')x+(y'-y'')y\right].\quad \mathrm {(V)}$

Si, au moyen des équations (II, III), on élimine $x'$ et $x''$ des trois autres, elles deviendront

$(y'-y'')^{2}\left[4p^{2}+(y'+y'')^{2}\right]=16c^{2}p^{2},$

$y'y''-y(y'+y'')+2px=0,$

$(y'+y'')\left\{y'^{2}-y'y''+y''^{2}+2p(p-x)\right\}=8p^{2}y\,;$

posant

$y'+y''=t,\qquad y'y''=u,$

d’où

$(y'-y'')^{2}=t^{2}-4u,\qquad y'^{2}-y'y''+y''^{2}=t^{2}-3u\,;$

on aura ainsi, en substituant

$\left(t^{2}-4u\right)\left(t^{2}+4p^{2}\right)=16c^{2}p^{2},$

$u-yt+2px=0,$

$t\left[t^{2}-3u+2p(p-x)\right]=8p^{2}y\,;$

mettant dans la première et la troisième la valeur de $u$ tirée de la seconde, il viendra

$t^{4}-4yt^{3}+4p(2x+p)t^{2}-16p^{2}yt+16p^{2}\left(2px-c^{2}\right)=0,$

$t^{3}-3yt^{2}+2p(2x+p)t-8p^{2}y=0\,;$

équations entre lesquelles il n’est plus question que d’éliminer $t\,;$ mais il est aisé de voir que l’équation finale pourra monter au 8.^me degré.