Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1817-1818, Tome 8.djvu/396

378

QUESTIONS

Cependant, comme la courbe ne peut être, dans le cas présent ; que d’une nature très-simple, on doit croire que cette équation finale contiendra quelque facteur étranger, appartenant à une ou plusieurs solutions particulières du problème ; et l’on voit ici l’inconvénient de nos procédés d’élimination qu’a signalé ailleurs M. Poncelet. (Voyez la page 230 de ce volume).

Il ne paraît pas qu’on puisse éluder ces difficultés, tant que l’on conservera le même mode d’opérer ; mais on peut tenter d’autres voies pour parvenir au but. Reprenons l’équation de l’ellipse

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1\,;\qquad$(1)

soit

${\frac {x}{A}}+{\frac {y}{B}}=1,\qquad$(2)

l’équation d’une droite indéterminée ; en la combinant avec la première, on trouvera pour les coordonnées de leurs intersections

${\begin{aligned}&x=aA.{\frac {aB^{2}\pm b{\sqrt {a^{2}B^{2}+b^{2}A^{2}-A^{2}B^{2}}}}{a^{2}B^{2}+b^{2}A^{2}}},\\&y=bB.{\frac {bA^{2}\mp a{\sqrt {a^{2}B^{2}+b^{2}A^{2}-A^{2}B^{2}}}}{a^{2}B^{2}+b^{2}A^{2}}}\,;\end{aligned}}$

en exprimant donc que la corde interceptée est égale à $2c,$ on aura l’équation de relation

$a^{2}b^{2}\left(A^{2}+B^{2}\right)\left(a^{2}B^{2}+b^{2}A^{2}-A^{2}B^{2}\right)=c^{2}\left(a^{2}B^{2}+b^{2}A^{2}\right)^{2},\qquad$(3)

au moyen de laquelle l’équation (2) deviendra celle d’une tangente à la courbe cherchée. Mais l’équation d’une tangente à une courbe, en un point $(x',y')$ est, comme l’on sait,

$(y-y')\operatorname {d} x'-(x-x')\operatorname {d} y'=0,$

ou

${\frac {y}{\frac {y'\operatorname {d} x'-x'\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}}-{\frac {x}{\frac {y'\operatorname {d} x'-x'\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} y'}}}=1\,;\qquad (4)$