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OSCILLATIONS ET ÉQUILIBRE

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}=0,$ dans l’équation différentielle de la section $\mathrm {ABCD,}$ rapportée aux axes $\mathrm {HO,HB} \,;$ car, de cette égalité, on tirera la valeur de l’abscisse $x,$ laquelle, étant substituée dans l’équation de la courbe, donnera pour $y$ la limite en question.

Cette dernière méthode est plus simple que la précédente, en ce que le centre de gravité de l’élément $\operatorname {d} \nu$ est plus facile à déterminer, et que la transformation des coordonnées $y$ est moins compliquée. Au reste, il y a un cas, que nous allons prendre pour exemple, et pour lequel l’une et l’autre méthodes paraissent jouir d’un même degré de simplicité.

Supposons que le corps dont il s’agit soit un cylindre droit ayant pour base l’une des sections coniques, renfermée dans l’équation

$y^{2}=nx+mx^{2},$

et représentée par $\mathrm {ABCD}$ (fig. 2) ; on aura, par la première méthode,

$\alpha =\mu \beta +\nu ,$

$\beta ={\frac {\mu (l+2m\nu )+{\sqrt {m^{2}n^{2}+4\left(k+l\nu +m\nu ^{2}\right)}}}{2\left(1-m\mu ^{2}\right)}}$

$\operatorname {Tang} .\psi =-{\frac {l+2m\alpha }{2\beta }}\,;$

en faisant, pour abréger ;

$k=h(hm+n),\qquad l=2hm+n.$

Et comme, dans cet exemple, la fonction $\Phi$ se réduit à ${\tfrac {1}{2}}Lr^{2},$ et $Ag$ à ${\tfrac {2}{3}}r\,;$ $L$ désignant la hauteur du cylindre et $r$ le rayon