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DES CORPS FLOTTANS.

vecteur $\mathrm {AN} \,;$ on aura facilement, au moyen des valeurs précédentes de $\alpha ,\beta ,$ et $\operatorname {Tang} .\psi ,$ la valeur de ce rayon vecteur. On trouve, tout calcul fait,

$r={\frac {R\operatorname {Sin} .\phi }{M\operatorname {Cos} .^{2}\phi +N\operatorname {Sin} .^{2}\phi +P\operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Cos} .\phi }},$

en posant, pour abréger,

${\begin{aligned}M=\operatorname {Sin} .^{2}\psi -m\operatorname {Cos} .^{2}\psi ,&\qquad N=\operatorname {Cos} .^{2}\psi -m\operatorname {Sin} .^{2}\psi ,\\\\P=-2(1+m)\operatorname {Sin} .\psi \operatorname {Cos} .\psi ,&\qquad R=2\beta \operatorname {Cos} .\psi -(l+2\alpha m)\operatorname {Sin} .\psi .\\\end{aligned}}$

au moyen de cette expression de $r,$ on intégrera $r^{2}\operatorname {d} \phi$ et $y\operatorname {d} \nu ,$ par les méthodes connues ; de sorte qu’en représentant respectivement par $B,C,D$ les trois intégrales $\int r^{2}\operatorname {d} \phi ,\ \int r^{3}\operatorname {Sin} .\phi \operatorname {d} \phi ,\ \int r^{3}\operatorname {Cos} .\phi \operatorname {d} \phi ,$ prises entre les limites $\phi =0,\ \phi ={\tfrac {1}{2}}\varpi +\psi +\theta ,$ les équations du mouvement se changeront en

$M{\frac {\operatorname {d} ^{2}\zeta }{\operatorname {d} t^{2}}}+{\tfrac {1}{2}}Lg\rho B=0,\qquad$(7)

$MK^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}-Lg\rho \left\{{\tfrac {1}{2}}B(\alpha \operatorname {Sin} .\theta -\beta \operatorname {Cos} .\theta )+{\tfrac {1}{3}}\left[C\operatorname {Cos} .(\psi +\theta )-D\operatorname {Sin} .(\psi +\theta )\right]\right\}=0.\,$(8)

Telles sont les équations rigoureuses du problème, en faisant abstraction de la résistance du fluide, ce qui est fort inexact. Nous allons en déduire le cas que l’on sait résoudre généralement ; celui où le dérangement du corps est fort petit, et pour lequel la résistance du fluide est une quantité assez petite pour être négligée ; ce qui rend les équations du mouvement linéaires, en négligeant les puissances de $\theta$ et $\zeta$ supérieures aux premières. Nous applique-