Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1817-1818, Tome 8.djvu/56

50

OSCILLATIONS ET ÉQUILIBRE

Si des points $\mathrm {M}$ et $\mathrm {E}$ on abaisse sur $\mathrm {OF}$ les perpendiculaires $\mathrm {MP}$ et $\mathrm {EF,}$ on aura la proportion

$\Pi :a:\mathrm {:} \mathrm {PF} :\mathrm {OP} .$

En exprimant par $u$ le volume du corps correspondant au secteur $\mathrm {BAC,}$ on tire de cette proportion

$\mathrm {OP} ={\frac {u.{\overline {\mathrm {OF} }}}{(\Pi )+u}},\qquad \operatorname {Tang} .\mathrm {GOM} ={\frac {\overline {\mathrm {OP} }}{\left({\overline {\mathrm {OG} }}\right)}}={\frac {u{\overline {\mathrm {OF} }}}{\left({\overline {\mathrm {OG} }}\right)\left[(\Pi )+u\right]}}.$

$u$ étant de la forme $P\theta \,;$ si l’on fait ${\overline {\mathrm {OF} }}=p,$ on aura

$\sigma ={\frac {Pp\theta }{\Pi .{\overline {\mathrm {OG} }}}},\quad$d’où$\int {\bar {y}}\operatorname {d} \nu =\left(\Pi .{\overline {\mathrm {OG} }}+Pp\right)\theta \,;$

substituant cette expression dans l’équation (6) et intégrant, on a

$\theta =\varepsilon _{/}\operatorname {Cos} .\left\{t{\sqrt {{\frac {g\rho }{MK^{2}}}\left(\Pi .{\overline {\mathrm {OG} }}+Pp\right)+\varepsilon '_{/}}}\right\}.$

Dans le cas où le corps plongé dans le fluide est un cylindre, on as $u=P\theta =2L{\dot {y}}^{2}\theta$ et $p={\tfrac {1}{3}}{\dot {y}}\,;$ d’où $Pp={\tfrac {2}{3}}L{\dot {y}}^{3}\,;$ le point placé au-dessus de $y$ indiquant qu’il faut y faire $x=H.$ De plus, en conservant les mêmes dénominations que ci-dessus, il est aisé de voir que l’on a

${\overline {\mathrm {OG} }}=f-{\frac {2L\int y(H-x)\operatorname {d} x}{\Pi }}\,;$

l’intégrale devant être prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=H.$ On tire de là, à cause de $\Pi =2L\int y\operatorname {d} x,$