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DES CORPS FLOTTANS.

$\Pi .{\overline {\mathrm {OG} }}=2L\left(\int xy\operatorname {d} x-h\int y\operatorname {d} x\right).$

Appliquons cette formule au cylindre dont la base est une ellipse ou un cercle. Si l’on fait $y={\sqrt {m}}\left({\frac {n}{m}}-x\right)z$^[1], on intégrera facilement, et on trouvera

$\int xy\operatorname {d} x-h\int y\operatorname {d} x=$

${\frac {n^{2}}{2.3.4m^{\tfrac {3}{2}}(1+z^{2})^{3}}}\left\{3\left[z^{5}-z+\left(1+z^{2}\right)^{3}\operatorname {Arc} (\operatorname {Tang} .=z)\right]\left({\frac {n}{m}}-2h\right)-{\frac {8n}{m}}z^{3}\right\}.$

Lorsque la base du cylindre est un cercle ; on a $m=1,\ n=2a,$ $z={\sqrt {\frac {H}{2a-H}}}\,;$ on trouve ainsi, tout calcul fait,

$\theta =\varepsilon _{/}\operatorname {Cos} .\left\{t{\sqrt {{\tfrac {a^{2}g\rho L}{MK^{2}}}\left[{\tfrac {(H-a){\sqrt {H(2a-H)}}}{a^{2}}}+2\operatorname {Arc} \left(\operatorname {Tang} .={\sqrt {\tfrac {H}{2a-H}}}\right)\right](a-h)}}+\varepsilon '_{/}\right\}$

Cette expression coïncide avec celle que nous avons obtenue précédemment d’une autre manière ; car, au moyen de la formule connue de trigonométrie qui donne la tangente de la somme de deux arcs, en fonction des tangentes de chacun d’eux, on trouve

$2\operatorname {Arc} \left(\operatorname {Tang} .={\sqrt {\tfrac {H}{2a-H}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\varpi +\operatorname {Arc} \left(\operatorname {Sin} .={\tfrac {H-a}{H}}\right).$

1. Voyez le Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, par M. Lacroix, tom. II, pag. 30 (2.^me édition).