PROBLÈME II. Construire le plus grand système de trois cercles, se touchant deux à deux, et dont les circonférences passent respectivement par trois points donnés ?
On trouve ensuite, à la page 59 du tome IV.e, cet autre problème :
PROBLÈME III. À un triangle donné inscrire le système de trois cercles, tels que chacun d’eux touche les deux autres et touche en outre, en son milieu, l’un des côtés du triangle ?
Et l’on peut encore se proposer celui-ci :
PROBLÈME IV. À un triangle donné, circonscrire le système de trois cercles tels que chacun d’eux touche les deux autres et touche en outre, en son milieu, l’un des côtés du triangle ?
Nous nous proposons ici de faire voir que les deux derniers problèmes se rapportent respectivement aux deux premiers, et réciproquement. Nous enseignerons ensuite à résoudre les uns et les autres.
Cherchons d’abord les caractères du triangle maximum et ceux du triangle minimum, entre tous ceux qui sont inscrits à un même système, de trois cercles, se touchant deux à deux.
Soient (fig. 5) les centres des trois cercles d’un tel système, et soit le triangle inscrit maximum. Si de son sommet on abaisse une perpendiculaire sur la direction du côté opposé cette perpendiculaire devra être plus longue que celle qu’on abaisserait sur la même droite de tout autre point de la circonférence dont le centre est propriété qui ne saurait appartenir qu’à la perpendiculaire qui passe par ce centre ; et, comme ce que nous disons ici du point peut se dire également des points et il s’ensuit que la propriété caractéristique du triangle maximum, entre tous ceux qui sont inscrits au système de nos trois cercles, est que les perpendiculaires abaissées de ses sommets sur la direction des côtés opposés, passent respectivement par les centres de ces trois cercles.
Soient ensuite (fig. 6) le plus petit des triangles qu’il
