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DES QUADRATURES.

serait plus petite que $\mathrm {Z.}$ Ce serait tout le contraire dans une hypothèse opposée ; c’est-à-dire, si de $y$ vers $\nu$ les ordonnées intermédiaires étaient de plus en plus grandes. Or, (9) est précisément la moyenne arithmétique des deux sommes précédentes, et doit, par conséquent, dans notre hypothèse, approcher davantage de l’aire $\mathrm {Z.}$ Au reste, on voit ce qu’il y aurait à faire pour introduire, au lieu de $\mathrm {T} ,$ l’une de ces deux sommes de rectangles dans la série (10), puisqu’on a, en désignant la première par $\mathrm {T} ^{-1}$ et la seconde par $\mathrm {T} ^{1},$ les relations

$\operatorname {T} ^{-1}=T-{\frac {\omega }{2}}(y-\nu ),\qquad \operatorname {T} ^{1}=T+{\frac {\omega }{2}}(y-\nu ),\qquad$(11)

On a aussi, d’après la formule (4),

$\Sigma \operatorname {F} \left(x+{\frac {1}{2}}\omega \right)=\Sigma \operatorname {E} ^{\frac {1}{2}}y=\operatorname {E} ^{\frac {1}{2}}\Sigma y=\operatorname {E} ^{-{\frac {1}{2}}}y+\operatorname {E} ^{-{\frac {3}{2}}}y+\operatorname {E} ^{-{\frac {5}{2}}}y$

$+\ldots +K\,;$

d’où, en faisant

$R=\omega \left\{\Sigma \operatorname {F} \left(x+{\frac {1}{2}}\omega \right)-\Sigma \operatorname {F} \left(a+{\frac {1}{2}}\omega \right)\right\},$

on tire sur-le-champ

$R=\omega \operatorname {E} ^{-{\frac {1}{2}}}y+\omega \operatorname {E} ^{-{\frac {3}{2}}}y+\ldots +\omega \operatorname {E} ^{\frac {2}{2}}\nu \,;\qquad$(12)

dont le second membre est visiblement l’expression de la somme, prise entre les mêmes limites, d’une suite de rectangles, compris chacun entre deux ordonnées consécutives, en leur donnant pour hauteur l’ordonnée intermédiaire équidistante. Or, d’après (1 et 4), on a

$\Sigma \operatorname {E} ^{\frac {1}{2}}y=\left(e^{d}-1\right)^{-1}e^{{\frac {1}{2}}d}y={\frac {1}{\omega }}\int y\operatorname {d} x-\omega A{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+w^{3}B{\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}}$

$-\ldots +K\,;\quad$(13)

dans laquelle les coefficiens $A,B,C,\ldots$ sont aussi ceux de l’équation identique