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DES QUADRATURES.
qui entrent dans
un nombre
d’autres aires
; et
par conséquent on portera l’approximation jusqu’aux différences de
l’ordre
inclusivement. Si le nombre des diviseurs
est moindre que
, on pourra encore, avec les ordonnées de
former un certain nombre d’aires auxiliaires qui donneront une approximation, mais d’un ordre moins élevé.
Ceux qui connaissent la méthode d’intégration que M. Dobenheim
a publié dans sa Balistique (Strasbourg 1816) ; méthode que
M. Kramp a exposée, avec des développemens importans qui lui appartiennent entièrement (Annales, tom. VI, pag. 281 et suiv.),
trouveront sans doute qu’elle coïncide avec le procédé dont je viens
de tracer l’esquisse.
Pour second exemple, j’applique la méthode à la série (21). En prenant
pour unité, et en rejetant les différences de l’ordre
et les suivantes ; par le théorème de Taylor, on a, sans
difficulté,
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\operatorname {E} ^{n}\nu +\operatorname {E} ^{-n}\nu &=2\nu +2{\frac {n^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}+2{\frac {n^{4}}{1.2.3.4}}.{\frac {\operatorname {d} ^{4}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +2{\frac {n^{2n}}{1.2\ldots 2n}}{\frac {\operatorname {d} ^{2n}\nu }{\operatorname {d} a^{2n}}},\\\operatorname {E} ^{n-1}\nu +\operatorname {E} ^{-(n-1)}\nu &=2\nu +2{\frac {(n-1)^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}+2{\frac {(n-1)^{4}}{1.2.3.4}}.{\frac {\operatorname {d} ^{4}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +2{\frac {(n-1)^{2n}}{1.2\ldots 2n}}{\frac {\operatorname {d} ^{2n}\nu }{\operatorname {d} a^{2n}}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\operatorname {E} ^{2}\nu +\operatorname {E} ^{-2)}\nu &=2\nu +2{\frac {2^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}+2{\frac {2^{4}}{1.2.3.4}}.{\frac {\operatorname {d} ^{4}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +2{\frac {2^{2n}}{1.2\ldots 2n}}{\frac {\operatorname {d} ^{2n}\nu }{\operatorname {d} a^{2n}}},\\\operatorname {E} \nu +\operatorname {E} ^{-1)}\nu &=2\nu +2{\frac {1}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}+2{\frac {1}{1.2.3.4}}.{\frac {\operatorname {d} ^{4}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +2{\frac {1}{1.2\ldots 2n}}{\frac {\operatorname {d} ^{2n}\nu }{\operatorname {d} a^{2n}}},\\\nu &=\nu .\\\end{array}}\right\}(32)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd67f058342f1c88952a5a6584550ebd06c3be5b)
Ces équations, en nombre
multipliées respectivement par