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PROBLÈME

les coefficiens indéterminés $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ puis ajoutées, donnent en appelant $V$ la somme de leurs premiers membres,

$V=\left\{{\begin{alignedat}{1}{\frac {2}{1}}\nu &\left(\alpha \quad +\beta \ \ \quad \qquad +\gamma \ \ \quad \qquad +\ldots +\mu +{\tfrac {1}{2}}\nu \right)\\+{\frac {2}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}&\left[\alpha n^{2}+\beta (n-1)^{2}+\gamma (n-2)^{2}+\ldots +\mu \right]\\+{\frac {2}{1.2.3.4}}{\frac {\operatorname {d} ^{4}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}}&\left[\alpha n^{4}+\beta (n-1)^{4}+\gamma (n-2)^{4}+\ldots +\mu \right]\\+\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{alignedat}}\right\}.$

Je détermine les coefficiens $\alpha ,\beta ,\ldots$ en faisant coïncider terme à terme, $V$ avec $W$ (21) ; ce qui fournit les $n+1$ conditions

$\left.{\begin{array}{ll}\alpha \quad +\beta \ \ \quad \qquad +\gamma \ \ \quad \qquad +\ldots +\mu +{\frac {1}{2}}\nu &=n,\\\alpha n^{2}+\beta (n-1)^{2}+\gamma (n-2)^{2}+\ldots +\mu &={\frac {n^{3}}{3}},\\\alpha n^{4}+\beta (n-1)^{4}+\gamma (n-2)^{4}+\ldots +\mu &={\frac {n^{5}}{5}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \\\alpha n^{2n}+\beta (n-1)^{2n}+\gamma (n-2)^{2n}+\ldots +\mu &={\frac {n^{2n+1}}{2n+1}}.\\\end{array}}\right\}(33)$

en même nombre que les coefficiens, dès lors suffisantes pour les déterminer ; après quoi j’aurai

$W=V=\alpha \left(\operatorname {E} ^{n}\nu +\operatorname {E^{-n}} \nu \right)+\beta \left(\operatorname {E} ^{n-1}\nu +\operatorname {E} ^{-(n-1)}\nu \right)+\ldots \mu \left(\operatorname {E} \nu +\operatorname {E} ^{-1}\nu \right)+\nu \nu ,$(34)

Ce procédé est parfaitement conforme à celui de la méthode donnée par M. Bérard (Annales, tom. VII, pag. 101 et suiv.).