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RÉSOLUES.

$x=r\operatorname {Sin} .\alpha +r\phi \operatorname {Cos} .\alpha -{\tfrac {1}{2}}r\phi ^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \,;$

d’où

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\ \ =&-r(\operatorname {Sin} .\alpha +\phi \operatorname {Cos} .\alpha ){\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}},\\{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\ \ =&+r(\operatorname {Cos} .\alpha -\phi \operatorname {Sin} .\alpha ){\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}},\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=&-r\operatorname {Cos} .\alpha {\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}},\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=&-r\operatorname {Sin} .\alpha {\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}},\\\end{aligned}}$

et par suite

$\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}\partial y+{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}\partial x\right)\operatorname {d} m=r^{2}\operatorname {d} m{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}}\partial \phi .$

En conséquence, l’équation générale deviendra, en divisant par $\partial \phi ,$

$r^{2}\operatorname {d} m{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}}+g\operatorname {d} m(r\operatorname {Sin} .\alpha +r\phi \operatorname {Cos} .\alpha )=0.$

Pour qu’elle convienne à toutes les molécules du corps, il faut affecter tous ses termes du signe d’intégration, et intégrer en regardant $r,\alpha$ et $\operatorname {d} m$ comme variables ; c’est-à-dire, en prenant l’intégrale par rapport aux axes mobiles qui oscillent avec le corps dont il s’agit. On écrira donc

$\int r^{2}\operatorname {d} m.{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}}+g\int r\operatorname {d} m(\operatorname {Sin} .\alpha +\phi \operatorname {Cos} .\alpha )=0.$

Nous pouvons remarquer actuellement que, puisque $r\operatorname {Sin} .\alpha =x,$ on doit avoir