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RÉSOLUES.

nulle, suivant qu’on aura $R>\beta ,\ R=\beta ,$ ou $R<\beta .$ Si, comme nous l’avons d’abord supposé, le corps oscillant est un segment de sphère homogène, c’est évidemment le premier cas qui aura lieu ; alors l’intégrale de l’équation (1) sera

$\phi =K\operatorname {Sin} .\left(t{\sqrt {\frac {B}{A}}}-k\right),$

$K,k$ étant deux constantes arbitraires.

Si $B$ eût été négatif, l’intégration aurait présenté $t$ hors du signe sinus ; d’où l’on voit que, dans ce cas, $\phi$ doit croître indéfiniment avec le temps. Les oscillations ne sauraient donc alors être très-petites, comme on le suppose dans l’énoncé du problème.

On voit, par ce détail, que, lorsque le centre de courbure du point de contact est au-dessus du centre de gravité, les oscillations ont lieu ; mais si, au contraire, il était au-dessous, le corps, une fois écarté de sa position d’équilibre, culbuterait tout-à-fait.

On trouve un exemple des deux cas dans une ellipse qui, ayant son plan vertical, se trouve appuyé sur une droite horizontale ; elle ne peut être en équilibre qu’autant qu’elle pose sur l’un de ses sommets ; mais, en l’écartant un peu de l’équilibre, elle tendra à reprendre sa situation primitive ou à s’en écarter, au contraire, de plus en plus, suivant que ce sommet appartiendra à l’extrémité du petit axe ou à l’extrémité du grand.

Pour savoir donc si un corps, d’abord mis en équilibre sur un plan, puis, déplacé d’une petite quantité, doit revenir dans sa première situation ou s’en écarter de plus en plus, il suffit d’examiner si le centre de courbure du point de contact est plus ou moins élevé que le centre de gravité^[1].

1. C’est aussi la conclusion à laquelle on est parvenu dans l’article de la page 349 du VIII^e volume de ce recueil.
   J. D. G.