en conséquence, l’équation du plan osculateur au point rapporté à l’origine primitive sera (29)
Si la courbe était plane, le plan osculateur devrait toujours être le même, quel que pût être le point dont conséquemment les coordonnées ne devraient point paraître dans l’équation de ce plan ; il faudrait donc qu’elles pussent en être chassées, au moyen des seules conditions qui expriment que le point est sur la courbe ou, ce qui revient au même, il faudrait qu’en y substituant pour leurs valeurs en tirées de ces mêmes équations, les termes en disparussent d’eux-mêmes par l’égalité de leurs coefficiens à zéro. Ce serait donc aussi par un pareil calcul que l’on parviendrait à assigner les relations qui doivent exister entre les coefficiens des équations de deux surfaces, pour qu’elles se coupassent suivant des courbes planes.
Si l’on conçoit qu’une droite indéfinie se meuve dans l’espace de manière à demeurer constamment tangente à une même courbe à double courbure, cette droite décrira une surface développable dont la courbe donnée sera l’arête de rebroussement ; cette surface serait aussi évidemment l’enveloppe de l’espace que parcourrait un plan indéfini, constamment osculateur de la courbe, c’est-à-dire, que ce plan, dans toutes ses positions, ne cesserait pas de lui être tangent ; cette même surface, lieu des tangentes, peut aussi être dite le lieu des développantes, attendu que les développantes de la courbe, qui sont comme elle à double courbure, s’y trouvent toutes situées.
Lorsque la courbe donnée est plane, il est évident que les deux nappes de la surface développable doivent se confondre en un seul plan qui sera le plan même de la courbe, ou du moins celui de l’une de ses parties, si elle en a plusieurs ; l’équation de cette surface devra donc être décomposable en facteurs du premier degré, ou du moins admettre un ou plusieurs facteurs de ce degré, ce
