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COURBURE DES LIGNES
ne devra point entrer dans l’équation (2), et par conséquent on devra
avoir
; l’équation (1) deviendra donc
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}0=By+Dyz+Gx^{2}+\ldots &\\+Cz+Ezx+Hy^{2}+\ldots &\\+Fxy+Kz^{2}+\ldots &\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328373f739e37cd5bfa9f4f935131bbb69627f69)
(12)
celle du plan tangent
![{\displaystyle By+Cz=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21fd3d5fa772591b21d5de3af2d122c9962623e0)
(13)
et celles de la normale
![{\displaystyle x=0,\quad {\frac {y}{B}}={\frac {z}{C}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5637fc4e90f650945b36dddbf6eb7758b27571c)
(14)
Faisons tourner le système des plans coordonnés autour de la tangente, c’est-à-dire, autour de l’axe des
; en posant
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}y=u\operatorname {Cos} .p-v\operatorname {Sin} .p,&\\z=u\operatorname {Sin} .p+v\operatorname {Cos} .p\,;&\\\end{aligned}}\right\}\quad (15)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9bd64d02ff4430a8dc1c602e9d9ee1e8752c64)
étant l’angle de l’axe des
avec celui des
Il viendra en substituant dans (12) et ordonnant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=(C\operatorname {Sin} .p+B\operatorname {Cos} .p)u+\left\{D\left(\operatorname {Cos} .^{2}p-\operatorname {Sin} .^{2}p\right)-2(H-K)\operatorname {Sin} .p\operatorname {Cos} .p\right\}uv&\\+(C\operatorname {Cos} .p-B\operatorname {Sin} .p)v\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(E\operatorname {Cos} .p-F\operatorname {Sin} .p)vx&\\+(E\operatorname {Sin} .p+F\operatorname {Cos} .p)xu&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef04c35e3d3658a51a4eedffb97b9d14c20c42d0)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}+Gx^{2}+\ldots &\\+\left(H\operatorname {Cos} .^{2}p+K\operatorname {Sin} .^{2}p+D\operatorname {Sin} .p\operatorname {Cos} .p\right)u^{2}+\ldots &\\+\left(H\operatorname {Sin} .^{2}p+K\operatorname {Cos} .^{2}p-D\operatorname {Sin} .p\operatorname {Cos} .p\right)v^{2}+\ldots &\end{aligned}}\right\}\quad (16)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9208bd7eac04f2108b1efe357c079b99e80107f)