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COURBURE DES LIGNES

$x$ ne devra point entrer dans l’équation (2), et par conséquent on devra avoir $A=0$ ; l’équation (1) deviendra donc

$\left.{\begin{aligned}0=By+Dyz+Gx^{2}+\ldots &\\+Cz+Ezx+Hy^{2}+\ldots &\\+Fxy+Kz^{2}+\ldots &\end{aligned}}\right\}\quad$(12)

celle du plan tangent

$By+Cz=0,\qquad$(13)

et celles de la normale

$x=0,\quad {\frac {y}{B}}={\frac {z}{C}}.\qquad$(14)

Faisons tourner le système des plans coordonnés autour de la tangente, c’est-à-dire, autour de l’axe des $x$ ; en posant

$\left.{\begin{aligned}y=u\operatorname {Cos} .p-v\operatorname {Sin} .p,&\\z=u\operatorname {Sin} .p+v\operatorname {Cos} .p\,;&\\\end{aligned}}\right\}\quad (15)$

$p$ étant l’angle de l’axe des $u$ avec celui des $y.$ Il viendra en substituant dans (12) et ordonnant,

${\begin{aligned}0=(C\operatorname {Sin} .p+B\operatorname {Cos} .p)u+\left\{D\left(\operatorname {Cos} .^{2}p-\operatorname {Sin} .^{2}p\right)-2(H-K)\operatorname {Sin} .p\operatorname {Cos} .p\right\}uv&\\+(C\operatorname {Cos} .p-B\operatorname {Sin} .p)v\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(E\operatorname {Cos} .p-F\operatorname {Sin} .p)vx&\\+(E\operatorname {Sin} .p+F\operatorname {Cos} .p)xu&\end{aligned}}$

$\left.{\begin{aligned}+Gx^{2}+\ldots &\\+\left(H\operatorname {Cos} .^{2}p+K\operatorname {Sin} .^{2}p+D\operatorname {Sin} .p\operatorname {Cos} .p\right)u^{2}+\ldots &\\+\left(H\operatorname {Sin} .^{2}p+K\operatorname {Cos} .^{2}p-D\operatorname {Sin} .p\operatorname {Cos} .p\right)v^{2}+\ldots &\end{aligned}}\right\}\quad (16)$