Si, entre les deux dernières on élimine l’équation résultante en et sera, sur le plan des celle du lieu des centres de courbure, à l’origine, de toutes les sections planes faites par la tangente cette équation est
c’est-à-dire, celle d’un cercle passant par l’origine, ayant pour tangente en ce point l’intersection de son plan avec le plan tangent à la surface ; et ayant pour diamètre
Ainsi, de toutes les sections faites à une surface courbe quelconque, par des plans passant par une même tangente quelconque à cette surface, celle qui a, au point du contact de cette tangente, le plus grand rayon de courbure est celle qui est faite par le plan normal. De plus, les centres de courbure de toutes les autres pour le même point, sont sur une même circonférence, ayant pour tangente, en ce point, une nouvelle tangente à la surface perpendiculaire à la première ; d’où il suit que les cercles osculateurs de toutes ces sections, pour le point de contact de la tangente, appartiennent à une même sphère, tangente en ce point à la courbe.
De ce beau théorème, dû à Meusnier, il résulte en particulier, que connaissant seulement, pour un même point quelconque d’une surface courbe, les centres de courbure de deux sections faites dans cette courbe, par des plans passant par une même tangente, on peut facilement avoir le centre de courbure de toute autre section faite par un nouveau plan passant également par cette tangente. Ce centre sera, en effet, l’intersection du plan coupant avec une circonférence passant par le point de contact et par les deux centres déjà donnés.
Nous venons de voir de quelle manière les sections planes obliques sont liées entre elles et à la section normale, lorsque les plans coupant passent par une même tangente. Examinons présentement la relation qui existe entre les diverses sections normales.
