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ET DES SURFACES COURBES.

Nous pouvons, dans cette nouvelle recherche, admettre une simplification de plus : nous pouvons supposer qu’on a pris pour plan des $xy$ le plan tangent lui-même, en prenant son point de contact pour origine ; ce qui fera coïncider la normale avec l’axe des $z\,;$ l’équation (2) devra donc simplement se réduire à $z=0,$ on aura donc, à la fois $A=0,\ B=0,$ ce qui réduira l’équation (1) à

$\left.{\begin{aligned}0=Cz+Dyz+Gx^{2}+\ldots &\\+Ezx+Hy^{2}+\ldots &\\+Fxy+Kz^{2}+\ldots &\end{aligned}}\right\}\quad$(24)

Afin d’obtenir une section normale quelconque, faisons tourner le système des plans coordonnés d’une quantité indéterminée $p$ autour de l’axe des $z.$ Posons pour cela

$\left.{\begin{aligned}x=t\operatorname {Cos} .p-u\operatorname {Sin} .p,&\\y=t\operatorname {Sin} .p+u\operatorname {Cos} .p&\end{aligned}}\right\}\quad$(25)

d’où

$\left.{\begin{aligned}t=y\operatorname {Sin} .p+x\operatorname {Cos} .p,&\\u=y\operatorname {Cos} .p-x\operatorname {Sin} .p.&\end{aligned}}\right\}\quad$(26)

par la substitution des valeurs (25) dans l’équation (24), la surface se trouvera rapportée aux axes des $t,u,z\,;$ si ensuite on veut avoir son intersection avec le plan des $tz,$ que l’on peut considérer ici, à raison de l’indétermination de $p,$ comme un plan normal quelconque, il faudra, dans cette équation transformée, supposer $t=0\,;$ mais il revient au même, et il est en même temps plus court de faire immédiatement cette supposition dans les formules (25), c’est-à-dire, de faire dans (24)

$x=t\operatorname {Cos} .p,\qquad y=t\operatorname {Sin} .p\,;$

ce qui donne, en ordonnant,