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COURBURE DES LIGNES
(27)
telle est donc l’équation de la section faite dans la surface (24) par
un plan normal faisant avec le plan des un angle quelconque
En comparant cette équation (27) aux formules (24, 25) du premier § de la présente section, on aura pour le rayon de courbure de
cette courbe à l’origine,
(28)
Si l’on fait varier la valeur de celle de variera aussi ; afin
donc de savoir comment ces deux variables sont liées entre elles, concevons que, pour chaque position du plan normal, on porte sur la
tangente correspondante, dont l’équation est
(29)
de part et d’autre du point de contact, des parties proportionnelles
à la racine quarrée de c’est-à-dire, des parties moyennes proportionnelles entre, et une longueur constante et arbitraire et cherchons la courbe sur laquelle les points ainsi déterminés se trouveront situés ; en désignant par les coordonnés de cette courbe, nous
devrons avoir les deux équations
(30)
exprimant à la fois que le point est sur la tangente (29) et
que sa distance au point de contact, c’est-à-dire, à l’origine est
égale à
Prenant donc, dans ces deux dernières équations, les valeurs de
pour les substituer dans la formule (28), nous aurons
pour l’équation de la courbe demandée