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COURBURE DES LIGNES
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}0=Cz+(D\operatorname {Sin} .p+E\operatorname {Cos} .p)tz+Kz^{2}+\ldots &\\+\left(G\operatorname {Cos} .^{2}p+H\operatorname {Sin} .^{2}p+F\operatorname {Sin} .p\operatorname {Cos} .p\right)t^{2}+\ldots &\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f258ee3507f7dbfc7d8fdb517faf55260cc7685)
(27)
telle est donc l’équation de la section faite dans la surface (24) par
un plan normal
faisant avec le plan des
un angle quelconque ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
En comparant cette équation (27) aux formules (24, 25) du premier § de la présente section, on aura pour le rayon
de courbure de
cette courbe à l’origine,
![{\displaystyle r={\frac {C}{2\left(G\operatorname {Cos} .^{2}p+H\operatorname {Sin} .^{2}p+F\operatorname {Sin} .p\operatorname {Cos} .p\right)}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea71789729d874c4c6ce0c36a625ec448c3d6c8)
(28)
Si l’on fait varier la valeur de
celle de
variera aussi ; afin
donc de savoir comment ces deux variables sont liées entre elles, concevons que, pour chaque position du plan normal, on porte sur la
tangente correspondante, dont l’équation est
![{\displaystyle y\operatorname {Cos} .p-x\operatorname {Sin} .p=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b92005f66f00c89086defe3d2acadff58a2d56)
(29)
de part et d’autre du point de contact, des parties proportionnelles
à la racine quarrée de
c’est-à-dire, des parties moyennes proportionnelles entre, et une longueur constante et arbitraire
et cherchons la courbe sur laquelle les points ainsi déterminés se trouveront situés ; en désignant par
les coordonnés de cette courbe, nous
devrons avoir les deux équations
![{\displaystyle x={\sqrt {\lambda r}}.\operatorname {Cos} .p,\qquad y={\sqrt {\lambda r}}.\operatorname {Sin} .p,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8884495f87555256d0fe53ae5371862be3a7da7e)
(30)
exprimant à la fois que le point
est sur la tangente (29) et
que sa distance au point de contact, c’est-à-dire, à l’origine est
égale à ![{\displaystyle {\sqrt {\lambda r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24399218aa730e9540a1a56449f78adf6a7ce23d)
Prenant donc, dans ces deux dernières équations, les valeurs de
pour les substituer dans la formule (28), nous aurons
pour l’équation de la courbe demandée