part et d’autre, avec les plans des sections principales des angles égaux sont égaux ; etc., etc., etc.
Il avoit déjà été remarqué par Euler que les sections normales de plus grande et de moindre courbure se coupaient perpendiculairement ; il avait même montré que les rayons de courbure de ces deux sections étant connus, on en pouvait déduire celui de toute autre section normale donnée de position ; mais il était réservé à M. Dupin de ramener toute cette théorie à une autre extrêmement simple et beaucoup plus généralement connue.
À raison de l’indétermination de une même surface a, en l’un quelconque de ces points, une infinité d’indicatrices différentes ; mais la forme de l’équation (31) montre que toutes ces indicatrices sont semblables et concentriques ; et conséquemment elles ne cessent pas d’avoir leurs diamètres proportionnels aux racines quarrés des rayons de courbure des sections correspondantes. Si en particulier on suppose l’équation (31) devient simplement
et exprime alors un point ou deux droites, c’est-à-dire, une section conique de dimensions infiniment petites ; mais, comme c’est aussi à cela que se réduit l’équation (24), lorsqu’après avoir supposé tout à fait nuls, on suppose ensuite infiniment petits, il en faut conclure que le point de contact d’une surface quelconque avec son plan tangent est une section conique de dimensions infiniment petites, dans laquelle les diamètres sont proportionnels aux racines quarrées des rayons de courbure des sections normales correspondantes. Cette remarque est due à M. Dupin.
Si l’on prend les deux sections principales pour plans des et des le terme en ne devra point se trouver dans l’équation (31) ; on devra donc avoir en sorte que l’équation (24) de la surface deviendra
