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COURBURE DES LIGNES

${\frac {y'}{\lambda }}=\left\{(AE-2CG)z-C^{2}\right\}\left\{(CD-2BK)z-BC\right\}-(BE-CF)\left\{(CE-2AK)z-AC\right\}$

${\frac {z'}{\lambda }}=\left\{(AE-2CG)z-C^{2}\right\}\left\{(BD-2CH)z-C^{2}\right\}-(AD-CF)(BE-CF)z^{2}\,;$

c’est-à-dire, en développant, réduisant et ordonnant

$\left.{\begin{aligned}{\frac {x'}{\lambda C^{3}}}&=\left\{B(DE-2FK)+C(DF-2EH)-A\left(D^{2}-4HK\right)\right\}{\frac {z^{2}}{C^{2}}}\\&-\left\{(BF+CE)-2A(H+K)\right\}{\frac {z}{C}}+A,\\{\frac {y'}{\lambda C^{3}}}&=\left\{C(EF-2DG)+A(ED-2FK)-B\left(E^{2}-4KG\right)\right\}{\frac {z^{2}}{C^{2}}}\\&-\left\{(CD+AF)-2B(K+G)\right\}{\frac {z}{C}}+B,\\{\frac {z'}{\lambda C^{3}}}&=\left\{A(FD-2EH)+B(FE-2DG)-C\left(F^{2}-4GH\right)\right\}{\frac {z^{2}}{C^{2}}}\\&-\left\{(AE+BD)-2C(G+H)\right\}{\frac {z}{C}}+C.\\\end{aligned}}\right\}\;$(56)

substituant toutes ces valeurs dans l’équation (53) et y introduisant pour ${\frac {z}{C}}$ sa valeur, on aura, toutes réductions faites,

$\left\{{\begin{aligned}&2AB(DE-2FK)-A^{2}\left(D^{2}-2HK\right)\\+&2BC(EF-2DG)-B^{2}\left(E^{2}-4KG\right)\\+&2CA(FD-2EH)-C^{2}\left(F^{2}-4GH\right)\end{aligned}}\right\}\quad R^{2}$

$\pm 2{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&BCD-A^{2}(H+K)\\+&CAE-B^{2}(K+G)\\+&ABF-C^{2}(G+H)\end{aligned}}\right\}R+\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}\right)^{2}=A.\;$(57)