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ET DES SURFACES COURBES.

$D=0,\qquad E=0,\qquad F=0\,;$

au moyen de quoi la formule (57) deviendra simplement

$\left.{\begin{aligned}&4\left(A^{2}HK+B^{2}KG+C^{2}GH\right)R^{2}\\\\\pm 2{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}&\left[A^{2}(H+K)+B^{2}(K+G)+C^{2}(G+H)\right]R\\\\&+\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}\right)^{2}=0.\end{aligned}}\right\}\;$(62)

Nous aurons ensuite

$A={\frac {2x'}{a^{2}}},\quad B={\frac {2y'}{b^{2}}},\quad C={\frac {2z'}{c^{2}}},\quad G={\frac {1}{a^{2}}},\quad H={\frac {1}{b^{2}}},\quad K={\frac {1}{c^{2}}}$

d’où nous conclurons, en ayant égard à la condition (61)

$A^{2}+B^{2}+C^{2}=4\left({\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z'^{2}}{c^{2}}}\right),$

$A^{2}HK+B^{2}KG+C^{2}GH={\frac {4}{a^{2}b^{2}c^{2}}}\left({\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z'^{2}}{c^{2}}}\right)={\frac {4}{a^{2}b^{2}c^{2}}},$

$A^{2}(H+K)+B^{2}(K+G)+C^{2}(G+H)$

$={\frac {4}{a^{2}b^{2}c^{2}}}\left\{\left(b^{2}+c^{2}\right){\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+\left(c^{2}+a^{2}\right){\frac {y'^{2}}{b^{2}}}+\left(a^{2}+b^{2}\right){\frac {z'^{2}}{c^{2}}}\right\}$

$={\frac {4}{a^{2}b^{2}c^{2}}}\left\{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)\right\}$

En conséquence, l’équation qui donnera les deux rayons de courbure au point $(x',y',z')$ sera