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PUISSANCES DES NOMBRES.

ANALISE INDÉTERMINÉE.

Théorème sur les puissances des nombres ;

Par M. Frégier, professeur de mathématiques au collège
de Troye, ancien élève de l’école polytechnique.

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THÉORÈME. « Toute puissance $a^{m}$ d’un nombre quelconque $a$ est égale à la somme des termes d’une progression par différences ; dont le premier terme est $1,$ dont le nombre des termes est $a,$ et dont la raison est égale à la somme des termes de la progression géométrique $2+2a+2a^{2}+2a^{3}+\ldots 2a^{m-2}.$ »

Démonstration. Désignons par $S$ la somme des termes de la progression arithmétique dont il s’agit, et par $d$ la raison de cette progression ; puisque son premier terme est $1,$ et le nombre de ses termes $a,$ son dernier terme sera $1+(a-1)d,$ d’où il suit qu’on aura

$S=\left[1+(a-1)d\right]{\frac {a}{2}}\,;$

mais, par hypothèse, on a

$d=2a+2a^{2}+\ldots 2a^{m-2}=2{\frac {a^{m-1}-1}{a-1}},$

donc

$(a-1)d=2\left(a^{m-1}-1\right)\,;$

ce qui donne, en substituant