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PUISSANCES DES NOMBRES.

$S=a^{m},$

comme l’énonce le théorème.

Si $m=2,$ on aura $2+2a+\ldots 2a^{m-2}=2,$ d’où

$a^{2}=1+3+5+7+\ldots +(2a-1),$

propriété connue.

Mais, si $m=3,$ ce qui donne $2+2a+\ldots 2a^{m-2}=2(1+a)\,;$ on aura

$a^{3}=1+(3+2a)+(5+4a)+(7+6a)+\ldots +\left[(2a-1)+2(a-1)a\right]\,;$

propriété curieuse des nombres cubes, qu’il est d’ailleurs facile de vérifier immédiatement.

En faisant successivement $a=1,2,3,4,\ldots ,$ on a

${\begin{array}{rl}1&=1^{3}=1,\\8&=2^{3}=1+7,\\27&=3^{3}=1+9+17,\\64&=4^{3}=1+11+21+31,\\125&=5^{3}=1+13+25+37+49,\\216&=6^{3}=1+15+29+43+57+71,\\343&=7^{3}=1+17+33+49+65+91+107,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}$

Chacun de ces cubes forme donc une progression arithmétique dont le premier terme est l’unité, dont le nombre des termes est la racine du cube, et dont la raison est double de cette racine augmentée d’une unité.