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RÉSOLUES.

Examen du même théorème, pour les quatre premiers degrés ;

Par M. Servois, conservateur du Muséum d’artillerie.^[1]

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On ne saurait se refuser à regarder le théorème énoncé aux pages 36 et 71 du présent volume des Annales, comme étant d’une importance tout-à-fait majeure ; et, s’il était vrai, son invention ferait époque dans l’histoire de la résolution des équations numériques ; car, malgré la longueur des calculs qu’il nécessite, il réduit à $m-1$ les conditions de réalité des racines d’une équation du degré $m\,;$ tandis que Lagrange, par deux voies différentes, trouve que le nombre de ces conditions est ${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.$

J’élimine $x$ entre $X=y$ et $X'=0$ : le résultat, $Y=0,$ est, sans contredit, une équation dont les racines sont les ordonnées des différent sommets (points auxquels la tangente est parallèle à l’axe des $x$) de la courbe parabolique qu’exprime l’équation $X=y\,;$ points dont les abscisses sont les racines de l’équation $X'=0.$

Supposons que les racines de $X=0$ soient toutes réelles ; celles de l’équation $X'=0$ seront toutes réelles aussi ; ainsi que celles de $Y=0$ qui, dans ce cas, seront alternativement positives et négatives. Supposons ensuite que les racines de $X=0$ ne soient pas toutes réelles : celles de $X'=0$ seront ou ne seront

1. Ceci est extrait d’une lettre de M. Servois au Rédacteur des Annales et n’avait point été destiné pour l’impression.
   J. D. G.