Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/251

245

DE TOUS LES ORDRES.

équations ; on pourra donc, en particulier, remplacer l’équation (1) par sa différence avec l’équation (6), laquelle étant divisée par $y,$ ce qui revient à en ôter l’équation de l’axe des $x$, devient

$\left.{\begin{aligned}b'x^{m-1}&\\+(b''+c''y)x^{m-2}&\\+\left(b''+c''y+d''y^{2}\right)x^{m-3}&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\\+\left(q''+r''y+\ldots +t''y^{m-3}\right)x^{2}&\\+\left(q'+r'y+s'y^{2}+\ldots +u'y^{m-2}\right)x\ \ &\\+\left(1+ry+sy^{2}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +vy^{m-1}\right)\quad &\\+\left(ax^{m-2}+a'x^{m-3}+a''x^{m-4}+\ldots +p''\right)\left[(g+h)x-ky\right]\end{aligned}}\right\}=0.\quad (7)$

Cette équation est donc celle d’une courbe qui est coupée par le système des droites (6) aux mêmes points où ces droites coupent la courbe (1) ; or, cette courbe est du degré $m-1,$ quels que soient $g,h$ ; ainsi la première partie du théorème se trouve démontrée. Il est d’ailleurs évident que la courbe (7) ne passe point par l’origine.

Si, dans la vue de savoir où cette courbe est coupée par l’axe des $y,$ c’est-à-dire, par le conjugué du diamètre tangent à l’origine, on fait, dans son équation, $x=0$ ; elle deviendra

$vy^{m-1}+\ldots +sy^{2}+(r-p'k)y+1=0,\qquad$(8)

équation qui fera connaître les ordonnées des intersections demandées ; mais, puisque cette équation est indépendante de $g,h,$ ces $m-1$ points d’intersection seront toujours les mêmes, quelles que soient les directions des deux diamètres conjugués donnés par les équations (3), ce qui démontra la seconde partie du théorème.