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QUESTIONS

pectivement opposés ; et du point ${\rm {P}}$ soient abaissées, sur les mêmes directions, les perpendiculaires ${\rm {PA''',PB''',PC'''.}}$

À cause des parallèles, on a les trois équations

${\rm {{\frac {PA'}{AA'}}={\frac {PA'''}{AA''}},\quad {\frac {PB'}{BB'}}={\frac {PB'''}{BB''}},\quad {\frac {PC'}{CC'}}={\frac {PC'''}{CC''}}\,;}}$

mais, d’un autre côté, les triangles ${\rm {BPC,CPA,APB}}$ se trouvant avoir une base commune avec le triangle ${\rm {ABC,}}$ le rapport de leurs aires à la sienne doit être le même que celui des hauteurs ; c’est-à-dire, qu’on doit avoir

${\rm {{\frac {PA'''}{AA''}}={\frac {BPC}{BAC}},\quad {\frac {PB'''}{BB''}}={\frac {CPA}{CBA}},\quad {\frac {PC'''}{CC''}}={\frac {APB}{ACB}}\,;}}$

au moyen de quoi les équations ci-dessus deviennent

${\rm {{\frac {PA'}{AA'}}={\frac {BPC}{BAC}},\quad {\frac {PB'}{BB'}}={\frac {CPA}{CBA}},\quad {\frac {PC'}{CC'}}={\frac {APB}{ACB}}\,;}}$

ajoutant donc ces trois dernières équations membre à membre, en observant que

${\rm {BPC+CPA+APB=ABC,}}$

on aura

${\rm {{\frac {PA'}{AA'}}+{\frac {PB'}{BB'}}+{\frac {PC'}{CC'}}=1\,;}}$

c’est-à-dire le théorème énoncé.

On a évidemment

${\rm {{\frac {AA'}{AA'}}+{\frac {BB'}{BB'}}+{\frac {CC'}{CC'}}=3\,;}}$

retranchant donc de cette équation celle du théorème, il viendra