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RÉSOLUES.

${\rm {{\frac {PA}{AA'}}+{\frac {PB}{BB'}}+{\frac {PC}{CC'}}=2\,;}}$

équation qui peut aussi avoir son utilité. Cette remarque est due à M. Vecten.

THÉORÈME II. Un point, étant pris arbitrairement dans l’intérieur d’un tétraèdre quelconque ${\rm {ABCD\,;}}$ et ${\rm {A',B',C',D'}}$ étant respectivement les points où les faces ${\rm {BCD,CDA,DAB,}}$ ${\rm {ABC}}$ de ce tétraèdre sont rencontrées par les prolongemens des droites ${\rm {AP,BP,CP,DP,}}$ menées des sommets opposés au point ${\rm {P\,;}}$ on aura

${\rm {{\frac {PA}{AA'}}+{\frac {PB}{BB'}}+{\frac {PC}{CC'}}+{\frac {PD}{DD'}}=1.}}$

Démonstration. Des sommets ${\rm {A,B,C,D,}}$ soient abaissées, sur les plans des faces opposées, les perpendiculaires ${\rm {AA'',BB'',}}$${\rm {CC'',DD''\,;}}$ et du point ${\rm {P}}$ soient abaissées, sur les mêmes plans, les perpendiculaires ${\rm {PA''',PB''',PC''',PD'''.}}$

À cause des parallèles, on a les quatre équations

${\rm {{\frac {PA'}{AA'}}={\frac {PA'''}{AA''}},\quad {\frac {PB'}{BB'}}={\frac {PB'''}{BB''}},\quad {\frac {PC'}{CC'}}={\frac {PC'''}{CC''}},\quad {\frac {PD'}{DD'}}={\frac {PD'''}{DD''}}\,;}}$

mais, d’un autre côté, chacun des tétraèdres ${\rm {PBCD,PCDA,PDAB,}}$ ${\rm {PABC}}$ se trouvant avoir une base commune avec le tétraèdre ${\rm {ABCD,}}$ le rapport de leurs volumes doit être le même que celui de leurs hauteurs ; c’est-à-dire qu’on doit avoir

${\rm {{\frac {PA'''}{AA''}}={\frac {PBCD}{ABCD}},\ {\frac {PB'''}{BB''}}={\frac {PCDA}{BCDA}},\ {\frac {PC'''}{CC''}}={\frac {PDAB}{CDAB}},\ {\frac {PD'''}{DD''}}={\frac {PABC}{DABC}}\,;}}$

au moyen de quoi les équations ci-dessus deviennent