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QUESTIONS

${\rm {{\frac {PA'}{AA'}}={\frac {PBCD}{ABCD}},\ {\frac {PB'}{BB'}}={\frac {PCDA}{BCDA}},\ {\frac {PC'}{CC'}}={\frac {PDAB}{CDAB}},\ {\frac {PD'}{DD'}}={\frac {PABC}{DABC}}\,;}}$

ajoutant donc ces dernières membre à membre, en observant que

${\rm {PBCD+PCDA+PDAB+PABC=ABCD\,;}}$

on aura

${\rm {{\frac {PA'}{AA'}}+{\frac {PB'}{BB'}}+{\frac {PC'}{CC'}}+{\frac {PD'}{DD'}}=1\,;}}$

c’est-à-dire le théorème énoncé.

On a évidemment,

${\rm {{\frac {AA'}{AA'}}+{\frac {BB'}{BB'}}+{\frac {CC'}{CC'}}+{\frac {DD'}{DD'}}=4\,;}}$

retranchant donc de cette équation celle du théorème, il viendra

${\rm {{\frac {PA}{AA'}}+{\frac {PB}{BB'}}+{\frac {PC}{CC'}}+{\frac {PD}{DD'}}=3\,;}}$

équation qui peut aussi avoir son utilité. Cette remarque est due à M. Vecten.

Les démonstrations de M. Fabry ne diffèrent de celles-ci qu’en ce que, par le point ${\rm {P,}}$ il mène une droite ou un plan parallèle à l’un des côtés du triangle ou à l’une des faces du tétraèdre, ce qui établit des proportions faciles a reconnaître, et dont la combinaison conduit au résultat cherché ; ses démonstrations ont ainsi l’avantage de ne dépendre aucunement des théorèmes sur la mesure des aires et des volumes.

Nous sommes tombés très-simplement sur ces deux théorèmes, en cherchant à décomposer une masse, supposée réduite à un point, en trois ou quatre autres situées aux sommets d’un triangle ou d’un