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RÉSOLUES.

Démonstration du théorème d’analise indéterminée
énoncé à la page 228 de ce volume ;

Par M. Frégier, professeur de mathématiques au collège
de Troye, ancien élève de l’école polytechnique.

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THÉORÈME. Toute puissance paire d’un nombre impair, diminué d’une unité, est toujours divisible par une puissance de deux supérieure de deux unités à celle qui divise son exposant.

Démonstration. Tout se réduit évidemment à démontrer que, quels que soient d’ailleurs les trois nombres entiers positifs $a,k,n,$ l’expression

${\frac {(1+2a)^{2^{n}.k}-1}{2^{n+2}}}$

est toujours un nombre entier.

D’abord, comme on a

$(1+2a)^{2^{n}.k}=\left\{(1+2a)^{k}\right\}^{2^{n}},$

et comme d’ailleurs $(1+2a)^{k},$ est nécessairement un nombre impair, que l’on peut représenter par $1+2A\,;$ tout se réduit à démontrer que l’expression

${\frac {(1+2A)^{2^{n}}-1}{2^{n+2}}}$

est un nombre entier.

On a, en second lieu,