Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/292

286

QUESTIONS

$(1+2A)^{2^{n}}=\left\{(1+2A)^{2}\right\}^{2^{n-1}}\,;$

mais

$(1+2A)^{2}=1+4A+4A^{2}=1+4A(1+A)\,;$

et comme, quel que soit $A,\ A(1+A)$ est nécessairement un nombre pair, que l’on peut représenter par $2B,$ on aura

$(1+2A)^{2}=1+8B,$

et, par suite

$(1+2A)^{2^{n}}=(1+8B)^{2^{n-1}}\,;$

tout se réduit donc à démontrer que la formule

${\frac {(1+8B)^{2^{n-1}}-1}{2^{n+2}}}$

est un nombre entier.

Cela est d’abord évident, pour le cas où $n=1$ ; puisqu’alors elle se réduit à $B.$ On trouve de plus

$(1+8B)^{2}=1+16B+64B^{2}=1+16B(1+4B),$

que l’on peut représenter par $1+16B'$

$(1+8B)^{4}=(1+16B')^{2}=1+32B'+256B'^{2}=1+32B'(1+8B'),$

que l’on peut représenter par $1+32B'',$ et ainsi de suite, ce qui est déjà conforme à l’énoncé du théorème. Or, si, en général, suivant cet énoncé, on a

$(1+8B)^{2^{k-1}}=1+2^{k+2}G,$

on aura