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RÉSOLUES.

$(1+8B)^{2^{k}}=\left(1+2^{k+2}G\right)^{2},$

ou

$(1+8B)^{2^{k}}=1+2^{k+3}G+2^{2k+4}G^{2}$

ou encore

$(1+8B)^{2^{k}}=1+2^{k+3}G\left(1+2^{k+1}G\right)$

quantité de la forme $1+2^{k+3}G'.$ Il demeure donc établi que, si la puissance $2^{k-1}$ de $1+8B,$ diminuée d’une unité, est divisible par $2^{k+2},$ sa puissance $2^{k},$ diminuée également d’une unité, le sera par $2^{k+3},$ puis donc que ces puissances $2^{0},2^{1},2^{2},$ diminuées d’une unité, le sont respectivement par $2^{3},2^{4},2^{5},$ il s’ensuit que sa puissance du degré $2^{n-1},$ diminuée d’une unité, le sera par $2^{n+2}\,;$ l’expression

${\frac {(1+8B)^{2^{n-1}}-1}{2^{n+2}}}$

est donc un nombre entier ; l’expression

${\frac {(1+2A)^{2^{n}}-1}{2^{n+2}}}$

en sera donc un aussi, et, conséquemment, il en sera de même de

${\frac {(1+2a)^{2^{n}.k}-1}{2^{n+2}}}$

le théorème est donc démontré en toute rigueur.

Soient les deux formules

${\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-1}{2^{p+2}}},\qquad {\frac {(1+2b)^{2^{q}.h}-1}{2^{q+2}}},$

elles seront l’une et l’autre des nombres entiers, par ce qui précède. Si $p$ n’est pas moindre que $q,$ à plus forte raison la formule