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QUESTIONS

${\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-1}{2^{q+2}}}$

sera aussi un nombre entier, d’où il suit que sa différence avec la seconde des deux ci-dessus sera également un nombre entier. Ainsi, la formule

${\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-(1+2b)^{2^{q}.h}}{2^{q+2}}},$

dans laquelle on suppose $p>q-1$ est nécessairement un nombre entier ; et l’on prouverait évidemment la même chose de la formule

${\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-(1+2b)^{2^{q}.h}}{2^{p+2}}},$

dans laquelle on aurait $q>p-1.$

Si l’on suppose $p=q=1,$ on aura la formule

${\frac {\left[(1+2a)^{g}\right]^{2}-\left[(1+2b)^{h}\right]^{2}}{8}},$

ou, plus simplement, la formule

${\frac {(1+2A)^{2}-(1+2B)^{2}}{8}},$

qui devra être un nombre entier ; c’est-à-dire, que la différence de deux quarrés impairs est toujours divisible par huit.

Donc, la somme de deux nombres impairs multipliés par leur différence donne un produit divisible par huit ; d’où il suit encore que la somme ou la différence de deux nombres impairs doit nécessairement être divisible par quatre^[1].

1. Cette vérité s’aperçoit immédiatement en observant que tout nombre impair est compris dans la double formule $4n\pm 1\,;$ ou, ce qui revient au même, que tout nombre impair, augmenté ou diminué d’une unité, devient divisible par quatre.
   J. D. G.