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THÉORÈMES ET PROBLÈMES

${\rm {AA':CC'}}::aa':cc'::ab:bc=ab.{\rm {{\frac {CC'}{AA'}},}}$

${\rm {BB':CC'}}::bb':cc'::ab:ac=ab.{\rm {{\frac {CC'}{BB'}}\,;}}$

or, les rapports ${\rm {{\frac {CC'}{AA'}},{\frac {CC'}{BB'}}}}$ sont connus ; prenant donc arbitrairement le côté $ab$ du triangle $acb,$ on pourra, par des quatrièmes proportionnelles, déterminer les deux autres ; ce triangle $acb$ pourra donc être construit, et, par suite, on pourra construire ses trois hauteurs $aa',bb',cc'\,;$ ces hauteurs, une fois connues, on déterminera les trois côtés du triangle ${\rm {ABC}}$ par ces proportions,

${\begin{aligned}&aa':bc::{\rm {AA':BC=AA'}}.{\frac {bc}{aa'}},\\\\&bb':ca::{\rm {BB':CA=BB'}}.{\frac {ca}{bb'}},\\\\&cc':ab::{\rm {CC':AB=CC'}}.{\frac {ab}{cc'}},\\\end{aligned}}$

le problème se trouvera donc ainsi complètement résolu^[1].

1. Soient $a,a',a''$ les trois hauteurs données, et $x,x',x''$ les trois côtés inconnus du triangle cherché. Nous aurons
   $ax=a'x'=a''x''.$

   Avec ses trois hauteurs prise comme côté, soit construit un triangle $aa'a''$ dont les hauteurs soient $b,b',b''$ ; nous aurons encore

   $ab=a'b'=a''b''.$

   Enfin, avec les trois hauteurs $b,b',b''$ de celui-ci, construisons-en un troisième, dont les trois hauteurs soient $c,c',c''$ ce qui nous donnera

   $bc=b'c'=b''c''\,;$