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THÉORÈMES ET PROBLÈMES DE GÉOMÉT.e ÉLÉM.e
THÉORÈME. Soient
les trois sommets d’un triangle ;
et
ses trois hauteurs, se coupant, comme l’on
sait, en un même point
on aura cette suite de rapports égaux
![{\displaystyle {\rm {{\frac {AA'.A'A''.A''A}{A''P''.AP.A'P'}}={\frac {AC.A'C.A''C}{A''P'.AP''.A'P}}={\frac {AC.A'C.A''C}{A'P''.A''P.AP'}}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61f4370dcec27514ad8099811e9bc599ae82b43)
Démonstration. Les triangles
![{\displaystyle {\rm {APA',APA'',A'P'A'',A'P'A,A''P''A,A''P''A',}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f02cdb0d3ab5ac596d4c61942eecbafab165a0)
sont respectivement semblables aux triangles
En divisant l’une par l’autre, les deux premières suites d’égalités, on aura
![{\displaystyle {\frac {x}{b}}={\frac {x'}{b'}}={\frac {x''}{b''}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55856132149add53985c220c99e4078c2c23e967)
le triangle
est donc semblable au triangle
ses hauteurs
doivent donc être proportionnelles aux hauteurs
de celui-là, on doit donc avoir
![{\displaystyle {\frac {x}{a}}={\frac {b}{c}},\qquad {\frac {x'}{a'}}={\frac {b'}{c'}},\qquad {\frac {x''}{a''}}={\frac {b''}{c''}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6f3cddf2d1e80a1da97e5e12267e21807afa2e)
d’où
![{\displaystyle x={\frac {ab}{c}},\qquad x'={\frac {a'b'}{c'}},\qquad x''={\frac {a''b''}{c''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b559b9749dfaba20d309d4cea6b6c1fb67bb253)
ce qui fournit une construction assez élégante. Au surplus, la construction
peut être réduite à ce qui suit :
Avec les trois hauteurs données, prises pour côtés, formez un triangle, dont vous menerez les trois hauteurs ; avec ces trois nouvelles hauteurs, prises également pour côtés, formez un second triangle, dont vous menerez une seule hauteur quelconque ; et prolongez-la au-dessous de la base, de manière qu’elle devienne égale à la hauteur correspondante du triangle cherché. En menant, par l’extrémité de ce prolongement, une parallèle à la base, elle formera, avec les deux outras côtés prolongés, le triangle demandé.
J. D. G.