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THÉORÈMES ET PROBLÈMES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\rm {AP''C,AP'C,A'PC,A'P''C,A''P'C,A''PC,}}$

(fig. 2) puisque les uns et les autres sont rectangles et ont de plus un angle commun ; on a donc

${\begin{array}{rrr}{\rm {{\frac {AA'}{AP}}=\ {\frac {AC}{AP''}},}}&{\rm {{\frac {A''A}{AP}}=\ \ {\frac {AC}{AP'}},}}&{\rm {{\frac {A'A''}{A'P'}}=\ {\frac {A'C}{A'P}},}}\\\\{\rm {{\frac {AA'}{A'P'}}={\frac {A'C}{A'P''}},}}&{\rm {{\frac {A''A}{A''P''}}={\frac {A''C}{A''P'}},}}&{\rm {{\frac {A'A''}{A''P''}}={\frac {A''C}{A''P}}.}}\end{array}}$

équations qui, étant multipliées membre à membre, donneront

${\rm {{\frac {{\overline {AA'}}^{2}.{\overline {A'A''}}^{2}.{\overline {AA''}}^{2}}{{\overline {AP}}^{2}.{\overline {A'P'}}^{2}.{\overline {A''P''}}^{2}}}={\frac {{\overline {AC}}^{2}.{\overline {A'C}}^{2}.{\overline {A''C}}^{2}}{\rm {AP'.A'P''.A''P.A'P.A''P'.AP''}}}\,;}}$

mais, d’après un théorème connu (voyez, en particulier, la Théorie des transversales de M. Carnot), on a

${\rm {AP'.A'P''.A''P=A'P.A''P'.AP''\,;}}$

donc

${\rm {{\frac {{\overline {AA'}}^{2}.{\overline {A'A''}}^{2}.{\overline {A''A}}^{2}}{{\overline {A''P''}}^{2}.{\overline {AP}}^{2}.{\overline {A'P'}}^{2}}}={\frac {{\overline {AC}}^{2}.{\overline {A'C}}^{2}.{\overline {A''C}}^{2}}{{\overline {A'P''}}^{2}.{\overline {A''P}}^{2}.{\overline {A'P}}^{2}}}={\frac {{\overline {AC}}^{2}.{\overline {A'C}}^{2}.{\overline {A''C}}^{2}}{{\overline {A''P'}}^{2}.{\overline {AP''}}^{2}.{\overline {A'P}}^{2}}}}}$

d’où, en extrayant la racine quarrée ; on conclura le théorème énoncé,

THÉORÈME. Soit pris arbitrairemtnt sur le plan d’un triangle ${\rm {ABC}}$ un point ${\rm {P,}}$ par lequel soient menées les droites ${\rm {AP,BP,}}$ ${\rm {CP,}}$ dont les prolongemens rencontrent respectivement en ${\rm {A',B',C'}}$ les directions, ${\rm {BC,CA,AD\,;}}$ soit formé le triangle ${\rm {A'B'C'}}$ dont les côtés ${\rm {B'C',C'A',A'B',}}$ sont coupés respectivement en ${\rm {A'',B'',C'',}}$ par ${\rm {PA,PB,PC\,;}}$ soit formé le triangle ${\rm {A''B''C'',}}$