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THÉORÈMES ET PROBLÈMES
![{\displaystyle {\rm {AP''C,AP'C,A'PC,A'P''C,A''P'C,A''PC,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be68761858905dc5a99b42658c1465db51d8f08)
(fig. 2) puisque les uns et les autres sont rectangles et ont de
plus un angle commun ; on a donc
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}{\rm {{\frac {AA'}{AP}}=\ {\frac {AC}{AP''}},}}&{\rm {{\frac {A''A}{AP}}=\ \ {\frac {AC}{AP'}},}}&{\rm {{\frac {A'A''}{A'P'}}=\ {\frac {A'C}{A'P}},}}\\\\{\rm {{\frac {AA'}{A'P'}}={\frac {A'C}{A'P''}},}}&{\rm {{\frac {A''A}{A''P''}}={\frac {A''C}{A''P'}},}}&{\rm {{\frac {A'A''}{A''P''}}={\frac {A''C}{A''P}}.}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc98befce480df7d312a9ad153fb6f14f9f97dc9)
équations qui, étant multipliées membre à membre, donneront
![{\displaystyle {\rm {{\frac {{\overline {AA'}}^{2}.{\overline {A'A''}}^{2}.{\overline {AA''}}^{2}}{{\overline {AP}}^{2}.{\overline {A'P'}}^{2}.{\overline {A''P''}}^{2}}}={\frac {{\overline {AC}}^{2}.{\overline {A'C}}^{2}.{\overline {A''C}}^{2}}{\rm {AP'.A'P''.A''P.A'P.A''P'.AP''}}}\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed7232d06f3790e8d44e23a3c8a7893ef5aec46)
mais, d’après un théorème connu (voyez, en particulier, la
Théorie des transversales de M. Carnot), on a
![{\displaystyle {\rm {AP'.A'P''.A''P=A'P.A''P'.AP''\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e85123a64e5b80b6dfbdcf844fd79aa84d13ae)
donc
![{\displaystyle {\rm {{\frac {{\overline {AA'}}^{2}.{\overline {A'A''}}^{2}.{\overline {A''A}}^{2}}{{\overline {A''P''}}^{2}.{\overline {AP}}^{2}.{\overline {A'P'}}^{2}}}={\frac {{\overline {AC}}^{2}.{\overline {A'C}}^{2}.{\overline {A''C}}^{2}}{{\overline {A'P''}}^{2}.{\overline {A''P}}^{2}.{\overline {A'P}}^{2}}}={\frac {{\overline {AC}}^{2}.{\overline {A'C}}^{2}.{\overline {A''C}}^{2}}{{\overline {A''P'}}^{2}.{\overline {AP''}}^{2}.{\overline {A'P}}^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54721c69925bfcb15cfd8710611396a128fafd96)
d’où, en extrayant la racine quarrée ; on conclura le théorème
énoncé,
THÉORÈME. Soit pris arbitrairemtnt sur le plan d’un triangle
un point
par lequel soient menées les droites
dont les prolongemens rencontrent respectivement en
les directions,
soit formé le triangle
dont les côtés
sont coupés respectivement en
par
soit formé le triangle