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DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
dont les côtés 
sont coupés respectivement en 
par les droites 
et ainsi de suite.
1.o Les droites 
concourront en un même point 
les droites 
concourront en un même point 
et les droites 
concourront en un même point 
2.o Les trois points de concours 
appartiendront à une même ligne droite.
Démonstration. Par un théorème connu, si sont respectivement les points de concours de
et 
de 
et 
de 
et 
ces trois points 
seront en ligne droite. En
outre, chacun des triangles de la série indéfinie
se trouvant dépendre de la même manière de
celui qui le précède, tout se réduira à prouver que
passe par 
par 
et 
par 
ou plutôt à démontrer simplement
que passe par puisque les trois côtés du triangle 
se trouvent dans des circonstances absolument semblables.
Il s’agit simplement de prouver qu’une droite menée par 
et
par 
(fig. 3) doit passer par 
Pour y parvenir, remarquons
que les deux droites
et 
qui se coupent en d’après
l’hypothèse, forment, avec les deux droites
le quadrilatère complet
dont les trois diagonales sont
or, il est connu que l’une quelconque des diagonales
d’un quadrilatère complet est coupée harmoniquement par les deux
autres (voyez la Théorie des transversales de M. Carnot) ; donc
le point de rencontre 
de
ou 
avec et le point de
rencontre du prolongement de
avec la même droite
sont
ceux où la diagonale 
est divisée harmoniquement. Mais la figure
est aussi un quadrilatère complet, dont les trois diagonales sont
par conséquent, la diagonale
est divisée harmoniquement aux points et 
donc la droite
