297
DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
dont les côtés
sont coupés respectivement en
par les droites
et ainsi de suite.
1.o Les droites
concourront en un même point
les droites
concourront en un même point
et les droites
concourront en un même point
2.o Les trois points de concours
appartiendront à une même ligne droite.
Démonstration. Par un théorème connu, si
sont respectivement les points de concours de
et
de
et
de
et
ces trois points
seront en ligne droite. En
outre, chacun des triangles de la série indéfinie
se trouvant dépendre de la même manière de
celui qui le précède, tout se réduira à prouver que
passe par
par
et
par
ou plutôt à démontrer simplement
que
passe par
puisque les trois côtés du triangle
se trouvent dans des circonstances absolument semblables.
Il s’agit simplement de prouver qu’une droite menée par
et
par
(fig. 3) doit passer par
Pour y parvenir, remarquons
que les deux droites
et
qui se coupent en
d’après
l’hypothèse, forment, avec les deux droites
le quadrilatère complet
dont les trois diagonales sont
or, il est connu que l’une quelconque des diagonales
d’un quadrilatère complet est coupée harmoniquement par les deux
autres (voyez la Théorie des transversales de M. Carnot) ; donc
le point de rencontre
de
ou
avec
et le point de
rencontre du prolongement de
avec la même droite
sont
ceux où la diagonale
est divisée harmoniquement. Mais la figure
est aussi un quadrilatère complet, dont les trois diagonales sont
par conséquent, la diagonale
est divisée harmoniquement aux points
et
donc la droite