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THÉORÈMES ET PROBLÈMES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\begin{aligned}&d\ ^{2}=c'c''.{\frac {(c+c'+c'')(c'+c''-c)}{(c'+c'')^{2}}},\\\\&d'\,^{2}=c''c.{\frac {(c+c'+c'')(c''+c-c')}{(c''+c)^{2}}},\\\\&d''^{2}=cc'.{\frac {(c+c'+c'')(c+c'-c'')}{(c+c')^{2}}},\end{aligned}}$

prenant donc la racine quarrée du produit de ces trois équations il viendra

${\frac {dd'd''}{cc'c''}}={\frac {(c+c'+c''){\sqrt {(c+c'+c'')(c'+c''-c)(c''+c-c')(c+c'-c'')}}}{(c'+c'')(c''+c)(c+c')}}\,;$(1)

équation qui donne, sous une forme élégante, le produit des droites qui divisent les angles d’un triangle en deux parties égales, en fonction des côtés de ce triangle.

On peut simplifier cette équation en remarquant que le radical du second membre est le quadruple de l’aire du triangle. En représentant ainsi cette aire par $T,$ il vient

${\frac {dd'd''}{cc'c''}}={\frac {4(c+c'+c'')T}{(c'+c'')(c''+c)(c+c')}}.\qquad$(2)

On peut, dans cette dernière expression, introduire le rayon du cercle circonscrit ; on sait, en effet, qu’en représentant ce rayon par $R,$ on a $cc'c''=4TR,$ ce qui donne, en substituant,

$dd'd''={\frac {16(c+c'+c'')RT^{2}}{(c'+c'')(c''+c)(c+c')}}.\qquad$(3)

Si l’on veut y introduire, au contraire, le rayon du cercle inscrit, en le désignant par $r,$ il suffira de se rappeler que $2T=r(c+c'+c''),$ ce qui donnera