Il faut remarquer qu’au nombre des angles polyèdres réguliers on doit comprendre l’angle plan, considèré comme double ; c’est en effet un angle polyèdre à deux faces, ayant deux angles dièdres nuls, et pour lequel le cône circonscrit a un angle générateur, moitié de l’un des angles plans, tandis que le cône inscrit se réduit à une droite.
Les limites extrêmes des angles polyèdres réguliers de cette sorte sont d’une part la ligne droite, pour laquelle les cônes inscrit et circonscrit se confondent, et l’angle dièdre dont le cône circonscrit est un plan, tandis que son cône inscrit a un angle générateur, moitié de l’angle dièdre.
Nous ajouterons qu’au nombre des angles polyèdres réguliers on doit comprendre aussi le cône de révolution, considéré comme un angle polyèdre ayant une infinité d’angles plans infiniment petits, et pour lequel, comme pour le point, les cônes inscrit et circonscrit se confondent.
Nous dirons que deux angles polyèdres sont conjugués l’un à l’autre, lorsque chacun d’eux aura autant d’arêtes que l’autre auca de faces ; et comme, dans tout angle polyèdre, le nombre des faces est égal au nombre des arêtes, il s’ensuit que tout angle polyèdre est conjugué à lui-même.
Si l’on fait des faces d’un angle polyèdre régulier les bases d’autant d’angles trièdres isocèles et égaux, de même sommet que lui ; ayant l’arête opposée à la base hors de l’angle polyèdre ; ces angles trièdre, avec l’angle polyèdre donné, fermeront un nouvel angle polyèdre, dont le nombre des faces pourra indistinctement, suivant la nature des angles trièdres ajoutés, être égal au nombre de celles du premier ou en être double ; et qui, dans l’un et dans l’autre cas, pourra être régulier comme lui.
qu’on donne le nombre de leurs côtés ; tandis qu’avec un nombre de faces donné on peut faire des angles polyèdres réguliers d’une infinité d’espèces différentes.
